[论文解读] On paths, stars and wyes in trees

Sébastien Bubeck, Katherine Edwards+2 more|arXiv (Cornell University)|Jan 8, 2016

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 1被引用 3

一句话总结

本文通过证明在任意树中，5-顶点wye数、路径数和星形数满足紧线性界 $ Y \leq 9S + P + 6 $，深化了对树中局部轮廓的理解，确立了1-千足虫树与2-千足虫树之间的线段是5-轮廓凸集的一个面。令人惊讶的是，当 $ d \geq 4 $ 时，线段 $[d\text{-millipede}, (d+1)\text{-millipede}]$ 并非一个面，这是通过构造广义千足虫树，其轮廓位于标准千足虫树凸包之外而得以证明。

ABSTRACT

We further the study of local profiles of trees. Bubeck and Linial showed that the set of 5-profiles contains a certain polytope, namely the convex hull of d-millipedes, and they proved that the segment [0-millipede, 1-millipede] corresponds to a face of the set of 5-profiles. Our main result shows that the segment [1-millipede, 2-millipede] also corresponds to a face. Surprisingly we also show that for d > 3 the segment [d-millipede, (d+1)-millipede] is not a face of the set of 5-profiles. We do so by exhibiting new trees which are generalized millipedes with intriguing patterns for their degree sequence. The plot thickens, and the set of 5-profiles remains a mysterious convex set.

研究动机与目标

• 改进已知的树中5-顶点子树计数的线性界，特别是将先前的界 $ Y \leq 36S + P + 4 $ 进一步优化。
• 确定连续 $ d $-千足虫树之间的线段是否构成凸集 $ \Delta_{\mathcal{T}}(5) $（即大树中可实现的5-轮廓集合）的一个面。
• 通过刻画新界对应的精确面，解决Bubeck与Linial（2013）中的开放问题1。
• 通过证明当路径比例趋于零时，星形比例趋于1，回答开放问题3，揭示路径与星形频率之间的非线性关系。

提出的方法

• 基于对先前工作中使用的 $(1,0)$-切割操作的新型扩展，采用归纳论证方法。
• 引入 $(0,0)$、$(1,0)$、$(1,1)$ 和 $(2,1)$-切割，以操控树结构并追踪 $ P $、$ S $ 和 $ Y $ 的变化。
• 应用约化引理，消除度数为2的顶点而不影响不等式，从而将分析简化为最小度数为3的树。
• 基于度数序列建立 $ Y(T) $ 的上界，证明 $ Y(T) \leq 2\sum_v d_v^{2+\sqrt{3}} $，并证明指数 $ 2+\sqrt{3} $ 为最优。
• 结合Jensen不等式与子树计数的组合界，推导出大树林中路径与星形比例之间的非线性不等式。
• 构造具有特定度数序列的广义千足虫树，证明当 $ d \geq 4 $ 时，$[d\text{-millipede}, (d+1)\text{-millipede}]$ 不是 $ \Delta_{\mathcal{T}}(5) $ 的一个面。

实验结果

研究问题

• RQ1 线段 $[1\text{-millipede}, 2\text{-millipede}]$ 是否对应于5-轮廓凸集 $ \Delta_{\mathcal{T}}(5) $ 的一个面？
• RQ2 当 $ d \geq 4 $ 时，线段 $[d\text{-millipede}, (d+1)\text{-millipede}]$ 是否为 $ \Delta_{\mathcal{T}}(5) $ 的一个面？
• RQ3 能否为所有树建立比 $ Y \leq 36S + P + 4 $ 更紧的线性界？
• RQ4 当5-顶点子树中路径的比例趋于零时，星形比例的渐近行为如何？
• RQ5 在度数序列对 $ Y(T) $ 的界中，最优指数为何？是否可实现？

主要发现

• 证明了界 $ Y \leq 9S + P + 6 $ 是紧且最优的，且对任意大的 $ S, P, Y $ 均可取等。
• 线段 $[1\text{-millipede}, 2\text{-millipede}]$ 对应于5-轮廓凸集 $ \Delta_{\mathcal{T}}(5) $ 的一个面，从而刻画了新界。
• 当 $ d \geq 4 $ 时，线段 $[d\text{-millipede}, (d+1)\text{-millipede}]$ 不是 $ \Delta_{\mathcal{T}}(5) $ 的一个面，这是通过构造位于标准千足虫树凸包之外的广义千足虫树而证明的。
• 建立了新的 $ Y(T) $ 上界：$ Y(T) \leq 2\sum_v d_v^{2+\sqrt{3}} $，并证明指数 $ 2+\sqrt{3} $ 为最优。
• 推导出非线性不等式：对 $ k \geq 6 $，有 $ p_2 \geq 1 - e(k-1)!(k-1)^\varepsilon p_1^{1-\varepsilon/(k-1)} $，并对 $ k=5 $ 给出具体形式，从而解决开放问题3。
• 结果证实，若 $ k $-顶点路径的比例趋于零，则 $ k $-顶点星形的比例趋于1，且给出了明确的定量速率。