[论文解读] On pathwise uniqueness for stochastic differential equations driven by stable L\\'evy processes

Nicolas Fournier|arXiv (Cornell University)|Nov 2, 2010

Stochastic processes and financial applications参考文献 19被引用 35

一句话总结

本文在漂移和扩散系数满足 Hölder 连续性和单调性条件的前提下，建立了由对称和非对称 $\alpha$-稳定 Lévy 过程驱动的一维随机微分方程（SDE）的路径唯一性，其中 $\alpha \in (0,2)\setminus\{1\}$。对于 $\alpha \in (1,2)$，当 Hölder 指数为 $(\alpha - \beta)/\alpha$ 且 $\beta = \beta(\alpha, a_-/a_+)$ 时，路径唯一性成立；而对于 $\alpha \in (0,1)$，通过等价 SDE 表示，可在更弱的正则性条件下实现唯一性。

ABSTRACT

We study a one-dimensional stochastic differential equation driven by a stable L\\'evy process of order $\\alpha$ with drift and diffusion coefficients $b,\\sigma$. When $\\alpha\\in (1,2)$, we investigate pathwise uniqueness for this equation. When $\\alpha\\in (0,1)$, we study another stochastic differential equation, which is equivalent in law, but for which pathwise uniqueness holds under much weaker conditions. We obtain various results, depending on whether $\\alpha\\in (0,1)$ or $\\alpha \\in (1,2)$ and on whether the driving stable process is symmetric or not. Our assumptions involve the regularity and monotonicity of $b$ and $\\sigma$.

研究动机与目标

• 研究由 $\alpha$-稳定 Lévy 过程驱动的一维 SDE 的路径唯一性，其中 $\alpha \in (0,2)\setminus\{1\}$，特别是当驱动过程具有无限活动性和跳跃时。
• 解决非 Lipschitz 系数下路径唯一性的挑战，特别是在 $\alpha \in (1,2)$ 的情况下，此时经典结果不适用。
• 为 $\alpha \in (0,1)$ 引入一种等价的 SDE 表示形式，该形式保持分布不变，但可在更弱的正则性假设下实现更强的路径唯一性结果。
• 在漂移和扩散系数满足线性增长条件时，建立 SDE 的矩估计和弱存在性。
• 确定路径唯一性成立的最优正则性条件——具体而言，是 Hölder 连续性和单调性——并扩展对对称稳定过程已知结果的适用范围。

提出的方法

• 对于 $\alpha \in (1,2)$，论文分析由补偿泊松测度 $\tilde{N}$ 驱动的原始 SDE（5），利用时间改变表示法推导矩界和路径唯一性。
• 对于 $\alpha \in (0,1)$，论文引入一个等价的 SDE（6），由定义在 $[0,\infty) \times \mathbb{R}_* \times \mathbb{R}_*$ 上的泊松测度 $M$ 驱动，强度为 $ds \nu_{a_-,a_+}^\alpha(dz) du$，其中跳跃大小受 $\gamma(x) = \text{sign}(\sigma(x)) |\sigma(x)|^\alpha$ 调制。
• 证明依赖于一种耦合论证，使用 $\beta$-矩估计：$\mathbb{E}[|X_t - \tilde{X}_t|^\beta] \leq |x - \tilde{x}|^\beta e^{Ct}$，其中 $\beta = \beta(\alpha, a_-/a_+)$，该估计通过 Lévy 测度的变换和带跳的随机分析推导得出。
• 论文采用时间离散化方法，条件于泊松过程的跳跃时间 $T_k$，以控制跳跃区间之间 $X_t$ 的矩。
• 应用条件矩的递归界：$u_k = \mathbb{E}[\sup_{[T_k \land T, T_{k+1} \land T]} |X_t|^\beta \mid \mathcal{G}]$，证明 $u_{k+1} \leq M_T(1 + u_k)$，从而实现指数矩控制。
• 通过逼近方法建立弱存在性：将 SDE 分解为扩散部分（$|z| < 1$ 内的跳跃）和跳跃部分（$|z| \geq 1$ 内的跳跃），后者被处理为在随机时间点发生的独立跳跃序列。

实验结果

研究问题

• RQ1 当漂移 $b$ 和扩散系数 $\sigma$ 满足何种正则性条件时，由 $\alpha$-稳定 Lévy 过程驱动的 SDE 在 $\alpha \in (1,2)$ 下具有路径唯一性？
• RQ2 能否通过等价 SDE 表示，在弱于 Lipschitz 的正则性下，为 $\alpha \in (0,1)$ 建立路径唯一性？
• RQ3 当 $\alpha \in (1,2)$ 时，确保路径唯一性的 $\sigma$ 的最优 Hölder 指数是多少？它如何依赖于非对称性 $a_-/a_+$？
• RQ4 当 $\beta < \alpha$ 时，$\mathbb{E}[\sup_{[0,T]} |X_t|^\beta]$ 的矩估计如何依赖于初值和系数？
• RQ5 当 $b$ 和 $\sigma$ 满足至多线性增长且连续时，由 $\alpha$-稳定 Lévy 过程驱动的 SDE 是否保证弱存在性？

主要发现

• 对于 $\alpha \in (1,2)$，若 $\sigma$ 具有指数 $(\alpha - \beta)/\alpha$ 的 Hölder 连续性，其中 $\beta = \beta(\alpha, a_-/a_+)$，且 $b$、$\sigma$ 满足线性增长和单调性条件，则路径唯一性成立。
• 矩估计 $\mathbb{E}[|X_t - \tilde{X}_t|^\beta] \leq |x - \tilde{x}|^\beta e^{Ct}$ 暗示路径唯一性，其中 $\beta \in [\alpha - 1, 1]$，其值取决于 $\alpha$ 和非对称性 $a_-/a_+$。
• 当 $b$ 为常数且 $(a_+ - a_-)\sigma$ 为非减函数时，$\beta$-矩被保持：$\mathbb{E}[|X_t - \tilde{X}_t|^\beta] = |x - \tilde{x}|^\beta$，表明具有鞅型行为。
• 对于 $\alpha \in (0,1)$，由泊松测度 $M$ 驱动的等价 SDE（6）允许在比 $\alpha \in (1,2)$ 情况下更弱的正则性下实现路径唯一性，这是由于跳跃强度结构所致。
• 当 $b$ 和 $\sigma$ 连续且至多满足线性增长时，SDE（5）的弱存在性成立，且对任意 $\beta \in (0,\alpha)$，有 $\mathbb{E}[\sup_{[0,T]} |X_t|^\beta] < \infty$。
• 通过跳跃区间上条件矩的递归界，建立了 $\mathbb{E}[\sup_{[0,T]} |X_t|^\beta] < \infty$ 的矩估计，且该界随跳跃次数呈至多指数增长。