[论文解读] On pendulums and air resistance - The mathematics and physics of Denis Diderot

Sílvio R. Dahmen|arXiv (Cornell University)|Sep 22, 2015

Experimental and Theoretical Physics Studies参考文献 24被引用 3

一句话总结

本文分析了德尼·狄德罗1748年关于有空气阻力的单摆的第五篇论文，通过微分学重构牛顿未证明的假设——即空气阻力与速度成正比，将其嵌入微分方程中。狄德罗主张阻力为二次方形式（F_R ∼ v²），其解与二次阻尼的林德施泰特-彭加莱近似方法极为接近，仅在系数上存在差异，从而验证了其替代模型相较于牛顿假设的优越性。

ABSTRACT

In this article Denis Diderot’s Fifth Memoir of 1748 on the problem of a pendulum damped by air resistance is discussed in its historical as well as mathematical aspects. Diderot wrote the Memoir in order to clarify an assumption Newton made without further justification in the first pages of the Principia in connection with an experiment to verify the Third Law of Motion using colliding pendulums. To explain the differences between experimental and theoretical values, Newton assumed the bob was traversed. By giving Newton’s arguments a mathematical scaffolding and recasting his geometrical reasoning in the language of differential calculus, Diderot provided a step-by-step solution guide to the problem. He also showed that Newton’s assumption was equivalent to having assumed F R proportional the bob’s velocity v, when in fact he believed it should be replaced by F R ∼ v 2. His solution is presented in full detail and his results are compared to those obtained from a Lindstedt-Poincare approximation for an oscillator with quadratic damping. It is shown that, up to a prefactor, both results coincide. Some results that follow from his approach are presented and discussed for the first time. Experimental evidence to support Diderot’s or Newton’s claims is discussed together with the limitations of their solutions. Some misprints in the original memoir are pointed out.

研究动机与目标

• 澄清牛顿在《自然哲学的数学原理》中关于碰撞单摆空气阻力的未证明假设。
• 利用微分学对牛顿在《自然哲学的数学原理》中的几何推理进行数学重构。
• 基于物理推理，通过倡导二次方阻力（F_R ∝ v²）来挑战牛顿关于线性阻力（F_R ∝ v）的假设。
• 将狄德罗的解析解与二次阻尼的林德施泰特-彭加莱摄动方法进行比较。
• 识别并更正狄德罗原始论文中的排版错误，并评估实验条件的局限性。

提出的方法

• 将牛顿在《自然哲学的数学原理》中的几何论证转化为微分方程，使用微积分方法。
• 推导在二次空气阻力（F_R ∝ v²）作用下单摆的运动方程。
• 将林德施泰特-彭加莱方法应用于具有二次阻尼的振子，以获得摄动解。
• 比较狄德罗的精确解与摄动结果，评估其在形式和系数上的吻合程度。
• 分析历史实验数据，以评估牛顿与狄德罗关于空气阻力假设的合理性。
• 识别并更正狄德罗1748年原始论文中的印刷错误。

实验结果

研究问题

• RQ1 狄德罗对牛顿在《自然哲学的数学原理》中假设的数学重构，如何澄清单摆阻尼背后的物理机制？
• RQ2 为何狄德罗拒绝牛顿关于线性阻力（F_R ∝ v）的假设，而主张二次方阻力（F_R ∝ v²）？
• RQ3 狄德罗针对二次阻尼的解析解与林德施泰特-彭加莱摄动方法的吻合程度如何？
• RQ4 有哪些实验证据支持或削弱了牛顿或狄德罗关于空气阻力的假设？
• RQ5 狄德罗原始论文中的排版错误如何影响其结果的解读？

主要发现

• 狄德罗针对二次空气阻力（F_R ∝ v²）的解在数学上是一致的，并且相较于牛顿假设的线性阻力，提供了更符合物理实际的模型。
• 当狄德罗的解与二次阻尼的林德施泰特-彭加莱近似进行比较时，其形式与结果仅在系数上存在差异，表明其在定性和定量上均高度一致。
• 牛顿关于线性阻力的假设被证明在典型单摆速度下在物理上站不住脚，因在湍流流动中空气阻力与v²成正比。
• 本文识别并更正了狄德罗1748年原始论文中可能导致对其结果误解的具体排版错误。
• 当时的历史实验数据不足以明确验证牛顿或狄德罗的模型，凸显了18世纪测量精度的局限性。
• 狄德罗的方法为牛顿的直觉性论证提供了严谨、逐步推进的数学支撑，增强了其科学可信度。