[论文解读] On Petersson norms of generic cusp forms and special values of adjoint $L$-functions for ${ m GSp}_4$

Shih-Yu Chen, Atsushi Ichino|arXiv (Cornell University)|Feb 18, 2019

Advanced Algebra and Geometry参考文献 41被引用 4

一句话总结

该论文在假设无穷远处成分是离散系列或球面主系列表示的前提下，建立了 $\ mathrm{GSp}_4(\mathbb{A}_\mathbb{Q})$ 上正规化一般尖点形式的 Petersson 范数的显式公式，该公式以伴随 $L$-函数的特殊值和局部常数表示。作者通过使用内播约化和 Rallis 内积公式，绕过了计算无穷远处 Whittaker 积分的困难，从而得到了一个完全显式的算术公式。

ABSTRACT

We prove an explicit formula for the Petersson norms of some normalized generic cuspidal newforms on ${ m GSp}_4$ whose archimedean components belong to either discrete series representations or spherical principal series representations. Our formula expresses the Petersson norms in terms of special values of adjoint $L$-functions and some elementary constants depending only on local representations.

研究动机与目标

• 推导 $\mathrm{GSp}_4$ 上尖点形式的 Petersson 范数的显式公式，扩展已知的 $\mathrm{GL}_n$ 和 $\mathrm{Mp}_{2n}$ 的结果。
• 克服通过标准 Rankin-Selberg 方法难以计算的无穷远处 Whittaker 积分 $\alpha_\infty(f_\infty)$ 的挑战。
• 建立 Petersson 范数与伴随 $L$-函数 $L(s, \pi, \mathrm{Ad})$ 特殊值之间的精确联系，适用于离散系列和球面主系列无穷远处成分。
• 提供一个适合在算术几何和数论中应用的明确算术公式。

提出的方法

• 以 Lapid–Mao 猜想作为框架，假设其在 $\mathrm{GSp}_4$ 上成立，并集中计算无穷远处位置的局部因子 $\alpha_v(f_v)$。
• 通过稳定基改变提升 $\pi \to \Pi$ 到 $\mathrm{GL}_4(\mathbb{A}_\mathbb{Q})$，将问题约化到内播情形，从而可使用已知的内积公式。
• 应用 Rallis 内积公式，通过自守表示将 Petersson 范数与 $L$-函数的特殊值联系起来。
• 在 $p$-进和无穷远处情形下，使用显式积分表示和收敛性分析，计算无穷远处的 Whittaker 函数。
• 使用 Siegel-Weil 公式和显式积分计算，控制收敛性并推导参数空间中的统一有界性。
• 通过指数函数和幂函数的控制，验证关键积分在无穷远处情形下的绝对收敛性，确保公式的有效性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否将 $\mathrm{GSp}_4$ 上一般尖点形式的 Petersson 范数显式表示为伴随 $L$-函数的特殊值和局部常数的函数？
• RQ2 如何绕过 notoriously 难以计算的无穷远处 Whittaker 积分 $\alpha_\infty(f_\infty)$，以获得显式的范数公式？
• RQ3 对于具有离散系列或球面主系列无穷远处成分的 $\mathrm{GSp}_4$ 尖点形式，Petersson 范数与伴随 $L$-函数 $L(s, \pi, \mathrm{Ad})$ 之间的确切关系是什么？
• RQ4 在约化到内播情形并使用 Rallis 内积公式的基础上，Lapid–Mao 猜想在 $\mathrm{GSp}_4$ 上能在多大程度上被显式化？
• RQ5 当无穷远处成分属于离散系列或主系列类型时，内积公式中出现的关键积分的收敛性特征如何？

主要发现

• 在所考虑的情形下，$\mathcal{S}_\pi = 1$，$\mathrm{GSp}_4(\mathbb{A}_\mathbb{Q})$ 上正规化一般尖点形式 $f$ 的 Petersson 范数 $\langle f, f \rangle$ 表示为全局 $L$-值 $L^S(1, \pi, \mathrm{Ad})$、常数 $\Delta_G^S$ 和局部因子 $\alpha_v(f_v)^{-1}$ 的乘积。
• 对于类型 (DS) 的无穷远处成分，范数为 $\langle f, f \rangle = C \cdot L(1, \pi, \mathrm{Ad})$，其中 $C$ 是仅依赖于 Blattner 参数 $\lambda_1, \lambda_2$ 和最小 $\mathrm{U}(2)$-型归一化的初等常数的乘积。
• 对于类型 (PS) 的无穷远处成分，范数公式同样显式，其中 $C$ 依赖于复参数 $\lambda_1, \lambda_2$ 和球面向量的归一化。
• 所有相关积分（包括无穷远处情形）在紧集参数范围内的收敛性得到统一确立，确保公式在表示族中的有效性。
• 作者验证了 Rallis 内积公式中关键积分在 $\mathrm{Re}(s) > 4|\mathrm{Re}(\lambda)| + 4\epsilon - 1$ 范围内绝对收敛，且 $\lambda$ 的有界性一致，确认了 $L$-函数因子的解析延拓。
• 最终公式完全显式且具有算术性质，为 Petersson 范数提供了可计算的表达式，适用于数论和几何应用。