[论文解读] On piecewise pluriharmonic functions

Boris Kazarnovskii|arXiv (Cornell University)|Jun 17, 2012

Geometry and complex manifolds参考文献 3被引用 5

一句话总结

本文通过构建由PPH函数及其$dd^c$-像生成的电流环，将关于分段线性函数的结果推广到复流形上的分段全纯凸（PPH）函数。证明了该环上存在一个满足$\delta(h) = dd^c h$和$\delta(dd^c h) = 0$的导子$\delta$，由此得出关键推论：混合Monge-Ampère电流$dd^c h_1 \wedge \cdots \wedge dd^c h_k$仅依赖于乘积$h_1 \cdots h_k$，推广了凸几何与复几何中的已知结果。

ABSTRACT

We extend some results on piecewise linear functions on $\C^n$ to piecewise pluriharmonic functions on any complex manifold. We construct a ring generated by currents $h$ and $dd^ch$, where $\{h\}$ is a finite set of piecewise pluriharmonic functions. We prove that, with some restrictions on the set $\{h\}$, the map $\{h\mapsto dd^ch,\ dd^ch\mapsto0\}$ can be continued to the derivation on the ring. As a corollary, the current $dd^cg_1\wedge...\wedge dd^cg_k$ depends on the product of piecewise pluriharmonic functions $g_1,...,g_k$ only.

研究动机与目标

• 将$\mathbb{C}^n$中分段线性函数的结果推广到任意复流形上的分段全纯凸（PPH）函数。
• 构建由PPH函数$h$及其$dd^c h$像生成的电流环$\mathcal{A}$。
• 在$\mathcal{A}$上建立一个满足$\delta(h) = dd^c h$和$\delta(dd^c h) = 0$的导子$\delta$，从而将微分结构扩展至PPH函数。
• 证明混合Monge-Ampère电流$dd^c h_1 \wedge \cdots \wedge dd^c h_k$仅依赖于乘积$h_1 \cdots h_k$，推广了凸几何中的关键性质。

提出的方法

• 将PPH函数定义为在复流形的局部有限剖分的每个单形上为全纯凸的连续函数。
• 引入PPH函数的构造空间$A$的概念，其中存在一个共同的剖分，使得每个函数在每个单形上均为全纯凸。
• 构造由$h$和$dd^c h$（$h \in A$）生成的电流环$\mathcal{A}$，并通过$\delta(h) = dd^c h$和$\delta(dd^c h) = 0$定义导子$\delta$。
• 利用$k$重角点集构造和电流理论的Stokes型恒等式，证明导子$\delta$在商环$\mathcal{A}$上是良定义的。
• 建立$\mathcal{T}$中电流与PPH-循环之间的对应关系$\iota$，通过算子$D_c$将$\delta$-作用与循环上的边界运算联系起来。
• 证明$\iota \pi \delta' = D_c \iota \pi$，表明导子与循环理论运算之间的相容性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否将$\mathbb{C}^n$上分段线性函数的理论推广到一般复流形上的分段全纯凸函数？
• RQ2 在由PPH函数及其$dd^c$-像生成的电流环上，是否存在一个良定义的导子$\delta$，满足$\delta(h) = dd^c h$和$\delta(dd^c h) = 0$？
• RQ3 对于PPH函数，混合Monge-Ampère电流$dd^c h_1 \wedge \cdots \wedge dd^c h_k$是否仅依赖于乘积$h_1 \cdots h_k$？
• RQ4 在何种条件下，PPH函数的上确界仍属于构造空间，这对电流$dd^c(h - h_1) \wedge \cdots \wedge dd^c(h - h_k)$有何影响？

主要发现

• 在由PPH函数及其$dd^c$-像生成的电流环$\mathcal{A}$上，导子$\delta$是良定义的，且对所有$h \in A$满足$\delta(h) = dd^c h$和$\delta(dd^c h) = 0$。
• 混合Monge-Ampère电流$dd^c h_1 \wedge \cdots \wedge dd^c h_k$仅依赖于乘积$h_1 \cdots h_k$，由恒等式$\delta^k(h_1 \cdots h_k) = k! \, dd^c h_1 \wedge \cdots \wedge dd^c h_k$得出。
• 对于任意$\tau \in \mathcal{T}$且次数为$2k$，其对应的PPH-循环$\iota(\tau)$是一个$(2n - k)$维的零度循环。
• 若$h = \max(h_1, \dots, h_k)$且$h \in A$，则$dd^c(h - h_1) \wedge \cdots \wedge dd^c(h - h_k) = 0$，这是由循环理论结构所导致的结果。
• 电流与PPH-循环之间的对应关系$\iota$是良定义的，且与导子$\delta$相容，由$\iota \pi \delta' = D_c \iota \pi$所证明。
• 该构造依赖于$k$重角点集的存在性，以及涉及$d^c$和链上边界算子的电流理论Stokes公式。