[论文解读] On planar self-similar sets with a dense set of rotations

Kemal Ilgar Eroğlu|ArXiv.org|Mar 8, 2006

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 13被引用 11

一句话总结

该论文证明了，对于其定义相似变换中旋转角在模 $2\pi$ 下稠密的平面自相似集，其正交投影的 $\gamma$-维 Hausdorff 测度为零，其中 $\gamma$ 为相似维数。通过改进的加倍论证和覆盖技术，进一步建立了当相似维数为 1 且旋转角为 $\pi$ 的丢番图倍数时，此类集合的 $\rho$-邻域的 Favard 长度的对数衰减上界。该结果解决了 Mattila 提出的问题，并首次为具有旋转结构的不规则自相似 1-集提供了优于指数衰减的已知上界。

ABSTRACT

We prove that if $E$ is a planar self-similar set with similarity dimension $d$ whose defining maps generate a dense set of rotations, then the $d$-dimensional Hausdorff measure of the orthogonal projection of $E$ onto any line is zero. We also prove that the radial projection of $E$ centered at any point in the plane also has zero $d$-dimensional Hausdorff measure. Then we consider a special subclass of these sets and give an upper bound for the Favard length of $E(ρ)$ where $E(ρ)$ denotes the $ρ$-neighborhood of the set $E$.

研究动机与目标

• 研究旋转角稠密的平面自相似集的正交投影与径向投影性质。
• 解决 Mattila 提出的问题：此类集合的正交投影在何时具有正的 $\gamma$-维 Hausdorff 测度。
• 为相似维数为 1 且旋转角为丢番图型的齐次自相似集的 $\rho$-邻域的 Favard 长度建立上界。
• 扩展对旋转对称性稠密或无理的自相似集中投影行为的理解。
• 为具有旋转结构的不规则自相似 1-集提供首个已知优于指数衰减的 Favard 长度上界。

提出的方法

• 使用改进的‘加倍’论证，利用旋转角的稠密性，表明集合的小副本在许多方向上对齐。
• 将迭代函数系统的词集合划分为与目标投影方向接近对齐的和不接近对齐的两类。
• 应用 Vitali 覆盖定理控制对齐良好的副本投影的测度，得到 $2^{-n}$ 衰减上界。
• 通过 $m^{L_n}(1 - m^{-s(n)})^{m^{s(n)}}$ 估计对齐不良副本的数量，得出 $e^{-s(n)}$ 上界。
• 通过将 $s(n)$ 和 $L_n$ 表示为 $\log(-\log \rho_n)$ 的函数，将衰减速率与 $\rho_n$ 关联，从而获得对数衰减上界。
• 使用丢番图逼近技术，确保旋转角避开有理逼近，这对衰减速率估计至关重要。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，平面自相似集的正交投影具有零 $\gamma$-维 Hausdorff 测度，其中 $\gamma$ 为相似维数？
• RQ2 定义相似变换中旋转角的稠密性如何影响投影的结构？
• RQ3 能否为相似维数为 1 且旋转角为无理数的自相似集的 $\rho$-邻域的 Favard 长度建立非平凡上界？
• RQ4 旋转角的丢番图性质在 Favard 长度衰减速率中起什么作用？
• RQ5 是否可能实现不规则自相似 1-集的 Favard 长度衰减速率优于指数衰减？

主要发现

• 若旋转角在模 $2\pi$ 下稠密，则任意此类自相似集 $E$ 沿任意直线的正交投影的 $\gamma$-维 Hausdorff 测度为零。
• 以平面上任意点为中心的 $E$ 的径向投影也具有零 $\gamma$-维 Hausdorff 测度。
• 对于相似维数为 1 的齐次自相似集，包含两个无旋转映射及一个丢番图旋转角的情形，其 $\rho$-邻域投影的 Lebesgue 测度满足 $\mathcal{L}^1(E^\theta(\rho)) \leq \frac{A}{(\log(-\log\rho))^{B}}$，且对所有 $\theta$ 一致成立。
• 集合 $E(\rho)$ 的 Favard 长度满足 $\frac{\pi A}{(\log(-\log\rho))^{B}}$ 上界，表明其衰减速率优于先前已知的指数衰减界。
• 衰减指数 $B$ 可显式估计为 $\frac{1}{(1+\delta)k(d+1)\log m}$（对任意 $\delta > 0$），在旋转角为 $(1+\sqrt{2})\pi$ 的例子中，$B = \frac{\log 2}{3.3 \log 3}$。
• 该结果首次建立了自相似集类，其 Favard 长度衰减速率优于一般 $\exp(-a \log_* (1/\rho))$ 上界。