[论文解读] On plurisubharmonicity of the solution of the Fefferman equation and its applications to estimate the bottom of the spectrum of Laplace-Beltrami operators

Song-Ying Li|arXiv (Cornell University)|Oct 6, 2014

Holomorphic and Operator Theory参考文献 13被引用 3

一句话总结

本文引入了超伪凸域的概念，并证明了当且仅当该域为超伪凸域时，费弗尔曼方程的解是全纯次调和的。作为应用，它利用李和王（2015）的结果，建立了此类域上拉普拉斯-贝尔特拉米算子谱的下确界下界。

ABSTRACT

In this paper, we introduce a concept of super-pseudoconvex domain. We prove that the solution of the Feffereman equation on a smoothly bounded strictly pseudoconvex domain $D$ in $\CC^n$ is plurisubharmonic if and only if $D$ is super-pseudoconvex. As an application, we give a lower bound estimate the bottom of the spectrum of Laplace-Beltrami operators when $D$ is super-pseudoconvex by using the result of Li and Wang \cite{LiWang}.

研究动机与目标

• 刻画费弗尔曼方程解为全纯次调和的域的特征。
• 在严格伪凸域中定义并分析超伪凸性的几何性质。
• 将全纯次调和性结果应用于估计拉普拉斯-贝尔特拉米算子谱的下确界。
• 通过费弗尔曼度量和凯勒-爱因斯坦几何，推广已知的谱估计结果。
• 为域边界上韦伯斯特-塔纳卡伪里奇曲率的正性提供充分条件。

提出的方法

• 通过边界定义函数的几何与分析条件，引入超伪凸域的概念。
• 利用费弗尔曼方程 $\det J(\rho) = 1$ 与 $\rho = -e^{-u}$，将解 $u$ 与凯勒-爱因斯坦度量联系起来。
• 利用李和梅尔罗兹的结果，对 $\rho$ 在边界附近的渐近展开进行分析，以研究其正则性与曲率。
• 通过 $\rho$ 的海森矩阵与雅可比行列式 $J(\rho)$，推导出 $\partial D$ 上的伪里奇曲率公式。
• 基于边界上曲率与海森矩阵的比较，建立 $\rho$ 全纯次调和性的判别准则。
• 通过涉及 $|z_k|^2$ 和曲率项的测试函数构造，验证超伪凸性条件。

实验结果

研究问题

• RQ1 在严格伪凸域的何种几何条件下，费弗尔曼方程的解 $\rho$ 是全纯次调和的？
• RQ2 域的超伪凸性与 $\rho$ 的全纯次调和性之间存在何种精确关系？
• RQ3 如何利用费弗尔曼度量估计拉普拉斯-贝尔特拉米算子谱的下确界？
• RQ4 边界 $\partial D$ 上的何种曲率条件可保证韦伯斯特-塔纳卡伪里奇曲率的正性？
• RQ5 李和王的谱估计结果能否推广到非严格凸但为超伪凸的域？

主要发现

• 费弗尔曼方程的解 $\rho$ 在 $\overline{D}$ 上为全纯次调和，当且仅当 $D$ 是超伪凸域。
• 超伪凸性由定义函数的海森矩阵与其复海森矩阵之间的曲率不等式刻画。
• 当 $n \geq 2$ 且 $\alpha \leq 21/20$ 时，若曲率表达式 $\tilde{E}(r)$ 非负，则域 $D$ 为严格超伪凸。
• 拉普拉斯-贝尔特拉米算子谱的下确界被一个依赖于 $n$ 和 $D$ 几何结构的正常数下界控制。
• 该谱下界通过超伪凸性条件与李和王（2015）的方法推导得出。
• 该结果将先前针对单位球与实椭球的谱估计推广至更广泛的域类。