[论文解读] On points with algebraically conjugate coordinates close to smooth curves

В. И. Берник, Friedrich Götze+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 4, 2016

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 9被引用 7

一句话总结

本文建立了光滑曲线 $ y = f(x) $ 附近、距离不超过 $ Q^{-\rho} $ 的代数点（其坐标代数共轭）数量的下界，其中 $ 0 < \rho < \frac{3}{4} $。通过度量丢番图逼近技术以及对多项式值和导数的估计，证明此类点的数量至少为 $ c(n,f,J) Q^{n+1-\lambda} $，优于此前仅限于 $ \lambda < \frac{1}{2} $ 的结果。

ABSTRACT

We show that for any sufficiently large integer $Q$ and a real $0\leqλ\leq\frac34$ there exists a value $c(n,f,J)&gt;0$ such that all strips $L(Q,λ)=\{(x,y):|y-f(x)|

研究动机与目标

• 将先前关于代数点在光滑曲线附近分布结果的范围扩展至更广的逼近指数范围。
• 建立在度数不超过 $ n $、高度不超过 $ Q $ 的条件下，位于光滑曲线 $ y = f(x) $ 的 $ Q^{-\lambda} $ 邻域内代数点数量的定量下界。
• 利用丢番图逼近的度量理论分析此类点在曲线附近细条带中的分布。
• 区分平面上的普通正方形与特殊正方形，以控制多项式值和导数，避免重复计数。

提出的方法

• 使用关于满足 $ |P(x_i)| \ll Q^{-u_i} $ 且 $ |P'(x_i)| \gg 1 $ 的多项式 $ P $（其中 $ \deg P \leq n $，高度 $ \leq Q $）的集合测度的度量定理，$ i=1,2 $。
• 应用 $ (u_1,u_2) $-普通正方形与 $ (u_1,u_2) $-特殊正方形的概念，根据多项式值和导数的行为对区域进行分类。
• 利用中值定理及对导数的有界性估计，估算在小矩形内满足逐点不等式的多项式数量。
• 将曲线划分为子区间，并用二进制矩形或正方形覆盖 $ \lambda $-邻域，以分别应用定理1（当 $ \lambda \leq \frac{1}{2} $）和定理2（当 $ \lambda > \frac{1}{2} $）。
• 通过 $ |b_2| $ 的界以及此类多项式数量的估计，估算与邻域相交的 $ (1/2,1/2) $-特殊正方形的数量。
• 结合两种情形的估计，证明在 $ \lambda < \frac{3}{4} $ 时，条带内代数点的数量超过 $ c(n,f,J) Q^{n+1-\lambda} $。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于 $ \lambda < \frac{3}{4} $，位于光滑曲线 $ y = f(x) $ 附近 $ Q^{-\lambda} $ 范围内的代数点（其坐标代数共轭）的最小数量是多少？
• RQ2 此类代数点的分布如何依赖于曲线的曲率与可微性？
• RQ3 是否可以将此类点数量的界改进至超过 $ \lambda = \frac{1}{2} $，若可以，需满足何种条件？
• RQ4 多项式导数与邻域几何在控制此类点数量方面起到何种作用？
• RQ5 在多项式值与导数均较小的特殊正方形中，这些点对总数的贡献如何？如何排除或控制这些正方形？

主要发现

• 对任意 $ n \geq 2 $，充分大的 $ Q $，以及 $ 0 < \lambda < \frac{3}{4} $，条带 $ L_J(Q,\lambda) $ 中至少包含 $ c(n,f,J) Q^{n+1-\lambda} $ 个代数点 $ \boldsymbol{\alpha} = (\alpha_1,\alpha_2) $，其坐标代数共轭，最小多项式次数 $ \leq n $，高度 $ \leq Q $。
• 该界通过关于满足 $ |P(x_i)| \ll Q^{-u_i} $ 且 $ |P'(x_i)| \gg 1 $ 的多项式 $ P $ 的集合测度的度量定理建立，其中 $ u_1 + u_2 = 1 $。
• 当 $ \lambda \leq \frac{1}{2} $ 时，结果由定理1应用于尺寸为 $ Q^{-\lambda} \times Q^{-\lambda} $ 的二进制矩形得出，每矩形的下界与 $ Q^{n+1-2\lambda} $ 成正比。
• 当 $ \lambda > \frac{1}{2} $ 时，定理2应用于尺寸为 $ Q^{-s} \times Q^{-s} $ 的 $ (1/2,1/2) $-普通正方形，其中 $ \frac{1}{2} < s < \frac{3}{4} $，并证明此类正方形的数量超过 $ \frac{1}{2} t_k $，从而得到相同的渐近下界。
• 对 $ (1/2,1/2) $-特殊正方形的数量估计不超过 $ \frac{1}{2} t_k $，确保多数正方形为普通正方形，从而对计数有贡献。
• 常数 $ c(n,f,J) $ 依赖于 $ n $、函数 $ f $ 和区间 $ J $，在 $ f $ 满足适度正则性与非退化条件时为正。