[论文解读] On Polynomial Kernels for Sparse Integer Linear Programs

Stefan Kratsch|arXiv (Cornell University)|Feb 14, 2013

Advanced Optimization Algorithms Research被引用 6

一句话总结

本文证明了当变量范围在变量数 n 上多项式有界时，r-稀疏整数线性规划（ILP）的可行性问题存在多项式核化，但当变量范围无界时则不存在。关键结果表明，在变量范围有界的条件下，核化可在 n + d（其中 d 为最大变量范围）的多项式时间内完成；而若变量范围无界，则除非 NP ⊆ coNP/poly，否则不存在多项式核化。

ABSTRACT

Integer linear programs (ILPs) are a widely applied framework for dealing with combinatorial problems that arise in practice. It is known, e.g., by the success of CPLEX, that preprocessing and simplification can greatly speed up the process of optimizing an ILP. The present work seeks to further the theoretical understanding of preprocessing for ILPs by initiating a rigorous study within the framework of parameterized complexity and kernelization. A famous result of Lenstra (Mathematics of Operations Research, 1983) shows that feasibility of any ILP with n variables and m constraints can be decided in time O(c^{n^3} m^c'). Thus, by a folklore argument, any such ILP admits a kernelization to an equivalent instance of size O(c^{n^3}). It is known, that unless NP \subseteq coNP/poly and the polynomial hierarchy collapses, no kernelization with size bound polynomial in n is possible. However, this lower bound only applies for the case when constraints may include an arbitrary number of variables since it follows from lower bounds for Satisfiability and Hitting Set, whose bounded arity variants admit polynomial kernelizations. We consider the feasibility problem for ILPs Ax<= b where A is an r-row-sparse matrix parameterized by the number of variables. We show that the kernelizability of this problem depends strongly on the range of the variables. If the range is unbounded then this problem does not admit a polynomial kernelization unless NP \subseteq coNP/poly. If, on the other hand, the range of each variable is polynomially bounded in n then we do get a polynomial kernelization. Additionally, this holds also for the more general case when the maximum range d is an additional parameter, i.e., the size obtained is polynomial in n+d.

研究动机与目标

• 正式研究使用参数复杂性与核化方法对整数线性规划（ILP）预处理理论极限的理论边界。
• 确定在不同参数化条件下，r-稀疏 ILP 可行性是否允许多项式核化。
• 识别核化在何种精确条件下可能或不可能实现，特别是关于变量范围边界的条件。
• 弥合 ILP 求解器（如 CPLEX）中实际预处理与核化理论保证之间的差距。

提出的方法

• 本文使用一种约简技术，将每个原始约束替换为一组新约束，仅排除任意 r 个变量的不可行点。
• 对于每个禁止点 (p₁,…,pᵣ)，引入辅助变量 sᵢ 和 tᵢ，以强制满足 (xᵢ − pᵢ) = sᵢ − d·tᵢ，其中 sᵢ ∈ {0,…,d−1} 且 tᵢ ∈ {0,1}。
• 通过约束 ∑sᵢ ≥ 1 确保至少一个 sᵢ > 0，从而确保禁止点被排除。
• 该构造每禁止点使用 3r 个变量和 4r+1 个约束，系数属于 {−1,0,1,d}，实现高效编码。
• 新约束和变量的总数被限制在 O(dʳ·nʳ) 以内，从而得到在 n 和 d 上多项式有界的核大小。
• 通过证明：任何满足新约束的解必须避开每个 r 变量子集的所有不可行点，从而保持可行性，来证明正确性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，r-稀疏 ILP 可行性问题允许多项式核化？
• RQ2 变量范围的无界性是否阻止 r-稀疏 ILP 的多项式核化？
• RQ3 最大变量范围 d 是否可作为附加参数，以实现多项式核化？
• RQ4 是否存在理论基础，解释 CPLEX 等 ILP 求解器中预处理有效性的原因，而不仅仅是经验观察？

主要发现

• 若变量范围无界，则除非 NP ⊆ coNP/poly，否则 r-稀疏 ILP 可行性不存在多项式核化，这将导致多项式层次结构坍缩。
• 当变量范围在 n 上多项式有界时，存在多项式核化，核大小在 n + d 上为多项式。
• 即使将 d 视为附加参数，该核化方法依然有效，核大小为 O(dʳ·nʳ)。
• 该构造将每个约束替换为 O(dʳ·nʳ) 个新约束和变量，所有系数均属于 {−1,0,1,d}，实现高效编码。
• 该方法通过强制至少一个变量偏离其禁止值小于 d，从而正确排除所有不可行的 r 元组。
• 整个变换在多项式时间内完成，并保持可行性，从而建立了有效的核化。