[论文解读] On Polynomial Representations of the DP Color Function: Theta Graphs and Their Generalizations

Charlie Halberg, Hemanshu Kaul+4 more|arXiv (Cornell University)|Dec 22, 2020

Advanced Graph Theory Research被引用 2

一句话总结

本文為Theta圖及其推廣形式的DP色函數確立了精確的多項式公式，證明對於這些圖，當m足夠大時，DP色函數最終等於多項式——具體而言，即為色多項式。關鍵結果透過描述DP色函數穩定為多項式的奇偶性條件，解決了此類圖形中DP色函數多項式表達的兩個開放問題。

ABSTRACT

DP-coloring (also called correspondence coloring) is a generalization of list coloring that has been widely studied in recent years after its introduction by Dvo\v{r}\'{a}k and Postle in 2015. As the analogue of the chromatic polynomial $P(G,m)$, the DP color function of a graph $G$, denoted $P_{DP}(G,m)$, counts the minimum number of DP-colorings over all possible $m$-fold covers. It is known that, unlike the list color function $P_{\ell}(G,m)$, for any $g \geq 3$ there exists a graph $G$ with girth $g$ such that $P_{DP}(G,m) < P(G,m)$ when $m$ is sufficiently large. Thus, two fundamental open questions regarding the DP color function are: (i) for which $G$ does there exist an $N \in \mathbb{N}$ such that $P_{DP}(G,m) = P(G,m)$ whenever $m \geq N$, (ii) Given a graph $G$ does there always exist an $N \in \mathbb{N}$ and a polynomial $p(m)$ such that $P_{DP}(G,m) = p(m)$ whenever $m \geq N$? In this paper we give exact formulas for the DP color function of a Theta graph based on the parity of its path lengths. This gives an explicit answer, including the formulas for the polynomials that are not the chromatic polynomial, to both the questions above for Theta graphs. We extend this result to Generalized Theta graphs by characterizing the exact parity condition that ensures the DP color function eventually equals the chromatic polynomial. To answer the second question for Generalized Theta graphs, we confirm it for the larger class of graphs with a feedback vertex set of size one.

研究动机与目标

• 解決DP色函數的兩個基本開放問題：其何時等於色多項式，以及對所有圖形而言是否最終為多項式。
• 根據其路徑長度的奇偶性，為Theta圖的DP色函數提供精確公式。
• 透過識別DP色函數最終與色多項式匹配所需的奇偶性條件，將這些結果推廣至推廣形式的Theta圖。
• 確認對於反饋點集大小為一的更廣泛圖類，DP色函數最終為多項式。
• 建立一個理解DP色函數何時及如何轉變為多項式形式的框架，特別是在具有結構對稱性的圖中。

提出的方法

• 作者分析圖形的m重覆蓋，並使用標準標籤法簡化H-色圖的結構。
• 他們將圖分解為森林G0與星形圖G1，並使用容斥原理計算因星形圖中跨邊衝突而無效的H-色圖數量。
• 針對星形圖頂點的每一種分割P，定義一個多項式pP(m)，表示無效著色數量，使用G0的固定星形圖頂點顏色的正確m著色。
• 他們證明G的H-色圖數量為P(G0, m)減去星形圖m條邊的每條邊對應的無效著色數量之和，每一項皆為m的多項式。
• 透過識別在m較大時使pP(m)最大的分割Pμ，他們推導出緊緻的下界：PDP(G, m) ≥ P(G0, m) − m·pPμ(m)。
• 他們構造了一個特定的m重覆蓋H∗，使其在該界限中達到等號，從而證明PDP(G, m) = P(G0, m) − m·pPμ(m)，此式對所有m ≥ N皆為m的多項式。

实验结果

研究问题

• RQ1 對於哪些圖形G，存在N ∈ ℕ，使得對所有m ≥ N，有PDP(G, m) = P(G, m)？
• RQ2 給定一圖形G，是否總是存在N ∈ ℕ與多項式p(m)，使得對所有m ≥ N，有PDP(G, m) = p(m)？
• RQ3 Theta圖的DP色函數的精確形式為何？其如何依賴於路徑長度的奇偶性？
• RQ4 在推廣形式的Theta圖中，路徑長度需滿足何種奇偶性條件，才能使PDP(G, m)最終等於色多項式？
• RQ5 能否證明具有大小為一的反饋點集的圖形，其DP色函數最終為多項式？

主要发现

• 對於三條路徑長度奇偶性相同的Theta圖，其DP色函數最終等於色多項式；否則，其為另一個不同的多項式。
• 本文根據三條路徑的奇偶性，推導出Theta圖DP色函數的顯式公式：若所有路徑長度均為奇數，則PDP(G, m) = P(G, m)；否則，其為另一個不同的多項式。
• 對於推廣形式的Theta圖，其DP色函數最終等於色多項式，當且僅當所有路徑長度具有相同的奇偶性。
• 作者證明，對於任何反饋點集大小為一的圖形，其DP色函數最終為多項式，從而正面回答了此圖類中第二個開放問題。
• 透過構造特定的m重覆蓋H∗，達成理論下界，證明對所有m ≥ N，有PDP(G, m) = P(G0, m) − m·pPμ(m)，其中pPμ(m)為所有分割中最大之多項式。
• 結果顯示，在某些圖形中，DP色函數可對任意大的m嚴格小於色多項式，但對於Theta圖與推廣形式的Theta圖，其會穩定為多項式，從而解決了此圖類的開放問題。