[论文解读] On Popov's formula involving the Von Mangoldt function

Alexander E. Patkowski|arXiv (Cornell University)|May 15, 2017

Analytic Number Theory Research参考文献 2被引用 3

一句话总结

本文首次提供了关于 von Mangoldt 函数与分数部分的 Popov 1943 年公式的严格证明，利用 Mellin 变换与围道积分，将其推广至任意实数 $ r \geq 1 $。主要贡献在于建立了一个新的显式公式，将 $ \Lambda(n) $ 的和与黎曼 zeta 函数的非平凡零点 $ \rho $ 及平凡零点联系起来，同时对 Möbius 函数也得到了类似结果。

ABSTRACT

We offer a generalization of a formula of Popov involving the Von Mangoldt function. Some commentary on its relation to other results in analytic number theory is mentioned as well as an analogue involving the m$\ddot{o}$bius function.

研究动机与目标

• 提供 Popov 1943 年未证明的、涉及 von Mangoldt 函数与分数部分的公式的严格证明。
• 将 Popov 公式推广至任意实数 $ r \geq 1 $，拓展其适用范围。
• 建立 Möbius 函数 $ \mu(n) $ 的类似公式，将其与 zeta 函数零点联系起来。
• 阐明含分数部分的算术和与黎曼 zeta 函数非平凡零点之间的联系。
• 展示 Mellin 变换与围道积分技术在解析数论中处理此类和式时的实用性。

提出的方法

• 使用 $ \{t\} - \frac{1}{2} $ 的 Mellin 变换，已知其在 $ \Re(s) > 1 $ 时给出 $ \frac{s+1}{2s(s-1)} - \frac{\zeta(s)}{s} $。
• 应用 Mellin 逆变换，将 $ \frac{1}{2}(\{u\}^2 - \{u\}) $ 表示为包含 $ \zeta(s) $ 与 $ s $ 的围道积分。
• 代入 $ u = \frac{n}{x} $ 并对 $ n > x $ 求和，得到涉及 $ \zeta'(r-s)/\zeta(r-s) $ 的积分。
• 变量替换 $ s \to 1-s $，将积分重写为 $ \zeta(s+r-1) $ 的形式，揭示在 $ s=1 $、$ s=2-r $、$ s=\rho+1-r $ 与 $ s=-2k-r+1 $ 处的极点。
• 计算这些极点处的留数，推导出主公式，其余积分因绝对收敛而趋于零。
• 将该方法适配至 Möbius 函数情形，利用 $ \zeta(s) $ 的函数方程计算平凡零点处的留数。

实验结果

研究问题

• RQ1 Popov 公式在 $ r \geq 1 $ 时的正确推广形式是什么？如何实现严格证明？
• RQ2 黎曼 zeta 函数的非平凡零点 $ \rho $ 如何在涉及 von Mangoldt 函数与分数部分的和式中出现？
• RQ3 该方法能否适配以推导出 Möbius 函数 $ \mu(n) $ 的公式？平凡零点起到何种作用？
• RQ4 常数项 $ h_r(x) $ 的意义是什么？它与 $ s=1 $ 和 $ s=2-r $ 处的极点有何关联？
• RQ5 Mellin 变换技术如何促进解析数论中此类显式公式的推导？

主要发现

• 推广公式 (1.2) 对所有实数 $ r \geq 1 $ 成立，其中 $ \Lambda(n) $ 的和通过 $ s=1 $、$ s=2-r $、$ s=\rho+1-r $ 与 $ s=-2k-r+1 $ 处的留数表示。
• 当 $ r=1 $ 时，公式退化为 Popov 的原始结果，常数项为 $ h_1(x) = \frac{2 - \log(2\pi)}{2x} $。
• 当 $ r > 1 $ 时，常数项为 $ h_r(x) = \left( \frac{r}{2(2-r)(1-r)} - \frac{\zeta(r-1)}{1-r} \right) \frac{x^{-r}}{r} $，源于 $ s=2-r $ 处的极点。
• 非平凡零点 $ \rho $ 的和表示为 $ \sum_{\rho} \left( \frac{r+1-\rho}{2(\rho+1-r)(\rho-r)} - \frac{\zeta(r-\rho)}{r-\rho} \right) \frac{x^{\rho-r-1}}{r+1-\rho} $。
• 平凡零点的和贡献了涉及 $ \zeta(2k+r) $ 的项，其系数由 $ \zeta(s) $ 的函数方程导出。
• 为 Möbius 函数 $ \mu(n) $ 推导出一个类似公式，其中 $ s=1 $ 处的留数为零，平凡零点处的留数涉及 $ \frac{1}{\zeta'(-2k)} $，从而得到一个包含 $ \pi^{2k} $、$ \zeta(2k+1) $ 与阶乘的新显式公式。