[论文解读] On Positive Sasakian Geometry

Charles P. Boyer, Krzysztof Galicki+1 more|ArXiv.org|Apr 11, 2001

Geometry and complex manifolds参考文献 10被引用 10

一句话总结

本文通過證明緊緻流形上每一個正Sasakian結構均可變形為具有正 Ricci 曲率的結構，從而建立了 Calabi 猜想的 Sasakian 版本。利用橫截 Kähler 幾何與 orbifold 技巧，作者在所有 $k \geq 1$ 時，於 $k\#(S^2\times S^3)$ 上構造了此類度量的顯式族，從而透過 Sasakian 幾何提供了這些 5-流形上正 Ricci 曲率的全新、獨立證明。

ABSTRACT

A Sasakian structure on a manifold is called {\it positive} if its basic first Chern class can be represented by a positive (1,1)-form with respect to its transverse holomorphic CR-structure. We prove a theorem that says that every positive Sasakian structure can be deformed to a Sasakian structure whose metric has positive Ricci curvature. This allows us by example to give a completely independent proof of a result of Sha and Yang [SY] that for every positive integer k the k-fold connected sum of $S^2 imes S^3$ admits metrics of positive Ricci curvature.

研究动机与目标

• 建立正 Sasakian 結構下 Calabi 猜想的 Sasakian 對應版本。
• 展示對於所有正整數 $k$，$k\#(S^2\times S^3)$ 上存在具有正 Ricci 曲率的 Sasakian 度量。
• 利用 Sasakian 幾何，提供 Sha 和 Yang 關於正 Ricci 曲率結果的全新、獨立證明。
• 表明當 Fano 指數提升至 2 時，加權射影空間中的 log del Pezzo 曲面可具有任意 Picard 數。

提出的方法

• 利用 Sasakian 流形特徵 foliation ${\cal F}_\xi$ 上基本上同調的橫截 Yau 定理。
• 應用 Sasakian 結構的變形理論，將正 Sasakian 結構變形為具有正 Ricci 曲率的結構。
• 構造 $\mathbb{C}^4$ 中由 $f(z_0,z_1,z_2,z_3) = g_{k+1}(z_0,z_1,z_2) + g_1(z_0,z_1,z_2)z_3$ 定義的孤立超曲面奇點的鏈，以獲得 5-流形 $L_f$。
• 利用 ${\cal Z}_f \subset \mathbb{P}(1,1,1,k)$ 的 orbifold 結構計算基本陳類並驗證正性。
• 應用 Milnor–Orlik 理論，透過特徵多項式因子計算鏈的 Betti 數。
• 採用 Smale 定理與 $H_2(L_f,\mathbb{Z})$ 的無扭性，得出微分同胚類為 $k\#(S^2\times S^3)$。

实验结果

研究问题

• RQ1 每一個正 Sasakian 結構是否都能變形為具有正 Ricci 曲率的結構？
• RQ2 $k\#(S^2\times S^3)$ 這類 5-流形是否對所有 $k \geq 1$ 都存在具有正 Ricci 曲率的 Sasakian 度量？
• RQ3 當 Fano 指數大於 1 時，加權射影空間中的 log del Pezzo 曲面是否可具有任意 Picard 數？
• RQ4 Sasakian 幾何中，基本第一陳類的正性與正 Ricci 曲率度量的存在性之間有何關係？
• RQ5 孤立超曲面奇點的鏈的 Betti 數與定義多項式之權重和次數之間有何關係？

主要发现

• 緊緻流形上每一個正 Sasakian 結構均可變形為具有正 Ricci 曲率的 Sasakian 結構。
• 對於每一個正整數 $k$，5-流形 $k\#(S^2\times S^3)$ 均存在具有正 Ricci 曲率的 Sasakian 度量。
• 當 $k > 5$ 時，在 $k\#(S^2\times S^3)$ 上存在一個 $2(k-5)$-參數族的非等價正 Ricci 曲率 Sasakian 結構，其來自定義多項式 $f$ 的變形。
• 鏈 $L_f$ 的第二 Betti 數恰好為 $k$，此結果透過特徵多項式的 Milnor–Orlik 除數理論計算得出。
• 鏈 $L_f$ 的葉子空間 ${\cal Z}_f$ 是 $\mathbb{P}(1,1,1,k)$ 中的 quasi-smooth log del Pezzo 曲面，且具有正第一陳類，從而確認 Sasakian 結構為正。
• 當 Fano 指數設為 2 時，$\mathbb{P}({\bf w})$ 中的 log del Pezzo 曲面可具有任意 Picard 數，此結果擴展了先前指數為 1 時的結果。