[论文解读] On power subgroups of mapping class groups

Louis Funar|arXiv (Cornell University)|Oct 8, 2009

Geometric and Algebraic Topology参考文献 37被引用 17

一句话总结

本文研究了可定向曲面的映射类群的幂子群与幂商群。研究证明，对于稀疏的简单闭曲线集合，当 D ≥ 2 时，由德恩旋转变换的 D 次幂生成的子群是右截角 Artin 群。此外，研究还表明，当 4g+2 不整除 D 时（g ≥ 3），幂商群 M_g[D] 是平凡的；但对于无穷多个 D，幂商群是非平凡的，且在亏格 2 时存在显式构造表明存在无限阶的幂商群。

ABSTRACT

In the first part of this paper we prove that the mapping class subgroups generated by the $D$-th powers of Dehn twists (with $D\geq 2$) along a sparse collection of simple closed curves on an orientable surface are right angled Artin groups. The second part is devoted to power quotients, i.e. quotients by the normal subgroup generated by the $D$-th powers of all elements of the mapping class groups. We show first that for infinitely many $D$ the power quotient groups are non-trivial. On the other hand, if $4g+2$ does not divide $D$ then the associated power quotient of the mapping class group of the genus $g\geq 3$ closed surface is trivial. Eventually, an elementary argument shows that in genus 2 there are infinitely many power quotients which are infinite torsion groups.

研究动机与目标

• 理解映射类群中由德恩旋转变换的 D 次幂生成的子群的代数结构。
• 确定映射类群对由所有元素的 D 次幂生成的正规子群的商群何时平凡或非平凡。
• 研究此类幂商群的有限性与挠性，特别是在低亏格情况下的性质。
• 通过曲线的相交图，探索幂子群与右截角 Artin 群之间的关系。
• 建立幂商群为无限的条件，尤其结合量子拓扑与群论技巧。

提出的方法

• 利用稀疏简单闭曲线集合的相交图，在由德恩旋转变换的 D 次幂生成的幂子群上定义右截角 Artin 群结构。
• 应用 Adian、Novikov 和 Lysënok 关于大 D 时自由 Burnside 群为无限的深刻结果，构造无限幂商群。
• 利用从带 puncture 的球面的映射类群到自由群 F_2 的满射，将无限性结果提升至更高亏格的映射类群。
• 利用亏格 g 的映射类群中，双曲对合的中心化子满射到 M_0^{6} 的事实，实现从 M_0^{6} 到 M_g 的无限性结果的传递。
• 应用群论引理，表明若某有限指数子群具有无限 D 次幂商群，则其超群对更大的 D' 也具有无限 D' 次幂商群。
• 利用 M_2 通过 Z/2Z 扩张满射到 M_0^6 的事实，将无限性结果传递至亏格 2。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于亏格 g 的曲面，由所有德恩旋转变换的 D 次幂生成的子群 M_g[D] 何时平凡或非平凡？
• RQ2 在何种条件下，商群 M_g / M_g[D] 是平凡的，特别是与 4g+2 是否整除 D 的关系？
• RQ3 幂商群 M_g[D] 是否可能为无限？若可能，对哪些 D 和亏格 g 成立？
• RQ4 沿稀疏曲线集生成的德恩旋转变换的 D 次幂子群是否同构于右截角 Artin 群？
• RQ5 幂商群 M_g[D] 是否构成无限挠群，尤其在亏格 2 时？

主要发现

• 对于 D ≥ 2 及稀疏的简单闭曲线集合，由德恩旋转变换的 D 次幂生成的子群 M(S)(A;D) 同构于右截角 Artin 群。
• 对于 g ≥ 3，若 4g+2 不整除 D，则幂商群 M_g[D] 为平凡。
• 对于无穷多个 D，幂商群 M_g[D] 为非平凡，且在亏格 2 时为无限。
• 在亏格 2 时，存在无穷多个 D，使得幂商群 M_2[D] 为无限挠群。
• 对于 n ≥ 4 且 D ≥ 8000，商群 Q(M_0^n)[n(n-1)(n-2)(n-3)D] 为无限，通过满射到 F_2 得到。
• 对于足够大的 D，亏格 g 的映射类群中双曲对合的中心化子具有无限幂商群，从而推出 M_g 也具有类似结果。