[论文解读] On practical numbers of some special forms

Li-Yuan Wang, Zhi‐Wei Sun|arXiv (Cornell University)|Sep 3, 2018

Analytic Number Theory Research参考文献 5被引用 3

一句话总结

该论文证明了对于某些二次型 $n^2 + bn + c$，其中 $b \geq 0$，$c > 0$，若该形式在某个 $n > 1$ 时生成一个实用数，则其将生成无穷多个实用数。此外，论文进一步证明了存在无穷多个形如 $q^4 + 2$ 的实用数，其中 $q$ 本身也是实用数，并通过分圆多项式恒等式与乘法结构上的归纳论证，构造了无穷多个最大公约数为 4 或 6 的实用毕达哥拉斯三元组。

ABSTRACT

In this paper we study practical numbers of some special forms. For any integers $b\ge0$ and $c>0$, we show that if $n^2+bn+c$ is practical for some integer $n>1$, then there are infinitely many nonnegative integers $n$ with $n^2+bn+c$ practical. We also prove that there are infinitely many practical numbers of the form $q^4+2$ with $q$ practical, and that there are infinitely many practical Pythagorean triples $(a,b,c)$ with $\gcd(a,b,c)=6$ (or $\gcd(a,b,c)=4$).

研究动机与目标

• 研究在 $b$ 和 $c$ 满足特定算术条件时，二次型 $n^2 + bn + c$ 中实用数的无穷性。
• 证明形如 $q^4 + 2$ 的实用数存在无穷多个，其中 $q$ 本身也是实用数。
• 构造并证明最大公约数为 4 或 6 的无穷多个实用毕达哥拉斯三元组的存在性。
• 将 Melfi 的分圆方法推广，以证明特定指数形式（如 $2^{35 \cdot 3^k + 1} + 2$）的实用数性质。

提出的方法

• 利用实用数的结构定理：一个数是实用数当且仅当其素因子满足 $p_j - 1 \leq \sigma(p_1^{a_1} \cdots p_{j-1}^{a_{j-1}})$，其中 $p_1 = 2$。
• 应用 Melfi 的分圆方法，借助 $\Phi_d(x)$ 的恒等式来分解并界定分圆多项式的大小。
• 对 $k$ 使用归纳法，证明对所有 $k \geq 0$，$m_k = 2^{35 \cdot 3^k + 1} + 2$ 是实用数，利用对 $\Phi_6(x), \Phi_{30}(x), \Phi_{42}(x), \Phi_{210}(x)$ 的界限。
• 利用恒等式 $x^n - 1 = \prod_{d|n} \Phi_d(x)$ 分解 $x^{210} - 1$，并通过分圆因子将 $m_{k+1}$ 与 $m_k$ 关联起来。
• 应用引理 2.1（具有有界乘法增长的实用数之积仍为实用数）以通过递归分解传播实用数性质。
• 通过 $a_k = 2(3^{3^k \cdot 70} - 1)$，$b_k = 4 \cdot 3^{3^k \cdot 35}$，$c_k = 2(3^{3^k \cdot 70} + 1)$ 显式构造毕达哥拉斯三元组，并通过归纳法证明其为实用数。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 $b$ 和 $c$ 满足何种条件下，二次型 $n^2 + bn + c$ 会产生无穷多个实用数？
• RQ2 是否存在无穷多个形如 $q^4 + 2$ 的实用数，其中 $q$ 本身也是实用数？
• RQ3 能否构造出无穷多个最大公约数为 4 或 6 的实用毕达哥拉斯三元组？
• RQ4 形式 $2^{35 \cdot 3^k + 1} + 2$ 是否对所有 $k \geq 0$ 都生成实用数？
• RQ5 能否利用分圆多项式分解，通过归纳论证证明指数形式的实用数性质？

主要发现

• 若 $n^2 + bn + c$ 在某个 $n > 1$ 时为实用数，则存在无穷多个 $n \in \mathbb{N}$ 使得 $n^2 + bn + c$ 为实用数。
• 当 $b = 20$ 时，集合 $S_{20} = \{1 \leq c \leq 100 : c \not\equiv 2,5 \pmod{12}\}$ 确保 $n^2 + 20n + c$ 对无穷多个 $n$ 为实用数。
• 对所有 $k \geq 0$，数 $2^{35 \cdot 3^k + 1} + 2$ 均为实用数，从而证明存在无穷多个实用数 $q$，使得 $q^4 + 2$ 也是实用数。
• 存在无穷多个最大公约数为 4 的实用毕达哥拉斯三元组，其构造形式为 $a_k = 2(3^{3^k \cdot 70} - 1)$，$b_k = 4 \cdot 3^{3^k \cdot 35}$，$c_k = 2(3^{3^k \cdot 70} + 1)$。
• 存在无穷多个最大公约数为 6 的实用毕达哥拉斯三元组，其构造形式为 $x_k = 3(3^{3^k \cdot 70} - 1)$，$y_k = 6 \cdot 3^{3^k \cdot 35}$，$z_k = 3(3^{3^k \cdot 70} + 1)$，所有项均通过归纳法证明为实用数。
• 利用分圆分解 $x^{210} - 1 = (x^{105} - 1) \cdot \Phi_6(x) \Phi_{30}(x) \Phi_{42}(x) \Phi_{210}(x)$ 来界定并比较因子大小，从而实现实用数性质的归纳证明。