[论文解读] On Primes of Ordinary and Hodge-Witt Reduction

Kirti Joshi|arXiv (Cornell University)|Mar 30, 2016

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 1被引用 3

一句话总结

本文研究了关于数域上光滑射影代数簇在普通约化下具有无穷多个素数的塞尔猜想，提出了一个更广泛的关于霍奇-惠特约化（Hodge-Witt reduction）的猜想——该猜想严格包含普通约化。本文建立了两个猜想之间的精确关系，证明了CM阿贝尔簇和阿贝尔三倍积的霍奇-惠特猜想（与C. S. Rajan合作），并通过例子表明普通约化与霍奇-惠特约化素数的密度可以不同，包括对椭圆曲线乘积和CM曲面的显式密度计算。

ABSTRACT

Jean-Pierre Serre has conjectured, in the context of abelian varieties, that there are infinitely primes of good ordinary reduction for a smooth, projective variety over a number field. Any prime of ordinary reduction is also a prime of Hodge-Witt reduction but not conversely. More generally, Conjecture 4.1.2 asserts the existence of infinitely many primes of Hodge-Witt reduction. The two conjectures are related but not equivalent (Theorem 4.1.4). We prove this conjecture for abelian threefolds Theorem 4.3.1 (joint with C. S. Rajan), and smooth Fano threefolds (Theorem 4.4.9) and in Theorem 4.5.4 for all simple abelian varieties with complex multiplication (this implies a conjecture of Mustaţă-Srinivas for such abelian varieties). We show that the set of primes of ordinary and Hodge-Witt reduction can have different densities (Theorem 4.5.4, Example 6.3.1). Theorem 6.2.1 asserts that for Fermat hypersurfaces of dimension $\geq 3$ and degrees $\geq 211$, at least 98% of the primes are of non Hodge-Witt (and hence non-ordinary) reduction. We include here an unpublished joint result Theorem 3.3.1 with C. S. Rajan.

研究动机与目标

• 研究塞尔猜想中关于数域上光滑射影代数簇存在无穷多个普通约化素数的问题。
• 提出并分析一个更广泛的猜想，即存在无穷多个霍奇-惠特约化素数，该猜想严格包含普通约化素数的集合。
• 建立普通约化与霍奇-惠特约化素数集合之间的精确数学关系，表明二者不等价但密切相关。
• 通过理论结果和具体例子为两个猜想提供证据，包括密度计算。
• 将结果扩展至阿贝尔三倍积和K3曲面，证明阿贝尔三倍积存在霍奇-惠特约化素数的正密度（与C. S. Rajan合作）。

提出的方法

• 使用晶体上同调与de Rham-Witt上同调来定义并研究正特征下霍奇-惠特与普通代数簇的性质。
• 应用Mazur关于霍奇与牛顿多边形比较的定理，以及Katz-Messing定理，将弗罗贝尼乌斯作用与上同调不变量联系起来。
• 利用阿贝尔簇中复乘法（CM）理论分析约化类型，并计算素数的密度。
• 借助晶体弗罗贝尼乌斯的半单性与霍奇-惠特上同调中的可除性条件，推导出有限性与密度结果。
• 使用类域论与伽罗瓦群共轭类来计算具有特定约化类型的素数密度，尤其在CM域中。
• 通过费马超曲面、椭圆曲线乘积和K3曲面等例子，说明理论结果并验证猜想。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于任意数域上的光滑射影代数簇，是否存在无穷多个霍奇-惠特约化素数，如猜想4.1.1所提出？
• RQ2 普通约化与霍奇-惠特约化素数集合之间的确切关系是什么？它们的密度如何比较？
• RQ3 能否将关于普通约化素数的猜想扩展并证明于数域上的阿贝尔三倍积与K3曲面？
• RQ4 普通约化与霍奇-惠特约化素数的密度有何不同？能否对特定代数簇（如椭圆曲线乘积）显式计算这一差异？
• RQ5 复乘法在确保霍奇-惠特或普通约化素数具有正密度方面起什么作用？

主要发现

• 对于数域上的阿贝尔三倍积，存在一个正密度的素数集合，使得该代数簇在这些素数上具有霍奇-惠特约化，此结果与C. S. Rajan合作证明。
• 对于有理数域上两个椭圆曲线的乘积，普通约化素数的密度为1/4，而霍奇-惠特约化素数的密度为3/4，表明二者密度不同。
• 对于由Q(ζ₅)复乘的亏格2曲线的雅加比簇，普通约化（因此也是霍奇-惠特约化）素数的密度为1/4，而非霍奇-惠特约化素数的密度为3/4。
• 对于具有非伽罗瓦四次CM域复乘的阿贝尔曲面，霍奇-惠特约化素数的密度至少为3/8，至多为3/4；而普通约化素数的密度介于1/8与1/2之间。
• 本文独立验证了塞尔猜想中关于K3曲面在数域上普通约化素数的结论，与Bogomolov和Zarhin先前的结果一致。
• 费马超曲面与一般型曲面（如具有CM雅加比簇的曲线乘积）的例子表明，猜想3.1.1（普通约化）与猜想4.1.1（霍奇-惠特约化）可同时成立，但对应的素数集合与密度不同。