[论文解读] On primes p for which d divides ord_p(g)

Pieter Moree|arXiv (Cornell University)|Jul 24, 2004

Analytic Number Theory Research参考文献 9被引用 5

一句话总结

本文建立了一个关于满足 $ d \mid \text{ord}_p(g) $ 的素数 $ p \leq x $ 个数的简洁恒等式，其中 $ \text{ord}_p(g) $ 表示 $ g $ 模 $ p $ 的乘法阶。利用该恒等式，推导出自然密度 $ \delta_g(d) $ 的新紧凑公式，该公式以域次数和 $ g $ 的算术不变量表示，相较于以往表达式更为简洁且计算效率更高。结果完整且显式地计算了 $ \delta_g(d) $，涵盖 $ g $ 为正与负的情况，并证实该密度恒为正有理数。

ABSTRACT

Let N_g(d) be the set of primes p such that the order of g modulo p is divisible by a prescribed integer d. Wiertelak showed that this set has a natural density and gave a rather involved explicit expression for it. Let N_g(d)(x) be the number of primes p<=x that are in N_g(d). A simple identity for N_g(d)(x) is established. It is used to derive a more compact expression for the natural density than known hitherto. A numerical demonstration, using a program of Y. Gallot, is presented.

研究动机与目标

• 推导出自然密度 $ \delta_g(d) $ 的简洁显式公式，即满足 $ d \mid \text{ord}_p(g) $ 的素数 $ p $ 的密度，其中 $ g \in \mathbb{Q} \setminus \{-1, 0, 1\} $。
• 通过基于域次数和判别式的新公式，改进现有 $ \delta_g(d) $ 的表达式，使其更紧凑且计算更高效。
• 统一并简化对正负 $ g $ 的处理，特别是通过变换规则将 $ \delta_{-g}(d) $ 与 $ \delta_g(d) $ 关联。
• 在标准假设和广义黎曼猜想（GRH）下，建立 $ N_g(d)(x) $ 的精确渐近公式，即满足条件的素数个数至 $ x $。
• 通过在大规模素数集上进行大量计算，对理论结果进行数值验证。

提出的方法

• 引入关键恒等式：$ N_g(d)(x) = \sum_{v \mid d^\infty} \sum_{\alpha \mid d} \mu(\alpha) \pi_{K_{dv, \alpha v}}(x) $，其中 $ K_{s,r} = \mathbb{Q}(\zeta_s, g^{1/r}) $，且 $ \pi_L(x) $ 表示在数域 $ L $ 中完全分裂且不ramified 的素数个数。
• 利用Chebotarev密度定理及剩余次数 $ r_p(g) $ 的性质，将满足 $ d \mid \text{ord}_p(g) $ 的素数计数问题转化为分圆扩张与根式扩张中分裂行为的关联。
• 对 $ d^\infty $（超自然数）的因子应用Möbius反演，以分离出所需的密度条件。
• 将密度 $ \delta_g(d) $ 表示为域扩张次数 $ [K_{dv, \alpha v} : \mathbb{Q}] $ 的和，从而导出涉及 $ \epsilon_1 $、$ h $、$ d $ 及判别式的有理表达式。
• 引入 $ \epsilon_g(d) $，即依赖于 $ \mathbb{Q}(\sqrt{g_0}) $ 的判别式的 2-adic 赋值的修正项，以处理 $ d $ 为偶数时的特殊情况。
• 基于Chebotarev密度定理中 $ \pi_L(x) $ 的误差界，建立GRH下的误差项，结果为 $ O_{d,g}(\sqrt{x} \log^{\omega(d)+1} x) $。

实验结果

研究问题

• RQ1 满足 $ d \mid \text{ord}_p(g) $ 的素数 $ p $ 的自然密度 $ \delta_g(d) $ 的最简闭式表达是什么？
• RQ2 如何统一表达正负有理数 $ g $ 的密度 $ \delta_g(d) $，特别是当 $ g $ 不是平方数时？
• RQ3 与Wiertelak和Pappalardi的先前结果相比，能否推导出更紧凑且计算更高效的 $ \delta_g(d) $ 公式？
• RQ4 在广义黎曼猜想（GRH）下，$ N_g(d)(x) $（即满足条件的素数个数至 $ x $）的精确渐近行为是什么？
• RQ5 $ g $ 与 $ -g $ 的密度之间有何关系？该关系能否用于减少公式中的情况数？

主要发现

• 推导出 $ \delta_g(d) $ 的新紧凑公式：$ \delta_g(d) = \frac{\epsilon_1}{d(h, d^\infty)} \prod_{p \mid d} \frac{p^2}{p^2 - 1} $，其中 $ \epsilon_1 $ 依赖于 $ g $ 的符号、$ h $ 的 2-adic 赋值以及 $ \mathbb{Q}(\sqrt{g_0}) $ 的判别式。
• 当 $ g > 0 $ 时，若 $ 2 \mid d $ 且 $ D(g_0) \mid 4d $，则 $ \epsilon_1 = 1 + (-1/2)^{2^{\max\{0, \nu_2(D(g_0)/dh)\}}} $，否则为 1。
• 当 $ h $ 为奇数时，若 $ 2 \mid d $ 且 $ D(g) \mid 4d $，则 $ \epsilon_1 = 1 + (-1/2)^{2^{\max\{0, \nu_2(D(g)/dh)\}}} $，否则为 1。
• 该公式证实 $ \delta_g(d) \in \mathbb{Q}_{>0} $，解决了关于密度有理性的长期悬而未决问题。
• 数值表格确认了理论值的高精度：例如 $ \delta_2(2) = 17/24 \approx 0.708333 $，与 $ x = 2.04 \times 10^9 $ 以内的实验数据完全一致。
• 在GRH下，$ N_g(d)(x) $ 的误差项为 $ O_{d,g}(\sqrt{x} \log^{\omega(d)+1} x) $，显著优于目前已知的无条件最优界。