[论文解读] On pro-p fundamental groups of marked arithmetic curves

Alexander Schmidt|ArXiv.org|Jun 11, 2008

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 12被引用 4

一句话总结

该论文证明了对于任意全局域 $k$，奇素数 $p \neq \mathrm{char}(k)$，以及互不相交的有限集 $S$、$T$ 和 $M$（其中 $M$ 的狄利克雷密度为零），存在一个与 $S \cup T \cup M$ 不相交的有限素数集 $S_0$，使得其对应的限制的 $p$-进伽罗瓦群 $G_{S \cup S_0}^T(k)(p)$ 具有上同调维数 2，上乘积满射，对所有 $\mathfrak{p} \in S \cup S_0$ 实现局部 $p$-扩张，并且其分解群具有自由积分解结构。该结果消除了此前对类数和单位根的限制。

ABSTRACT

Let k be a global field, p an odd prime number different from char(k) and S, T disjoint, finite sets of primes of k. Let G_S^T(k)(p)=Gal(k_S^T(p)|k) be the Galois group of the maximal p-extension of k which is unramified outside S and completely split at T. We prove the existence of a finite set of primes S_0, which can be chosen disjoint from any given set M of Dirichlet density zero, such that the cohomology of G_{S\cup S_0}^T(k)(p) coincides with the etale cohomology of the associated marked arithmetic curve. In particular, cd G_{S\cup S_0}^T(k)(p)=2. Furthermore, we can choose S_0 in such a way that k_{S\cup S_0}^T(p) realizes the maximal p-extension k_\p(p) of the local field k_\p for all \p\in S\cup S_0, the cup-product H^1(G_{S\cup S_0}^T(k)(p),\F_p) \otimes H^1(G_{S\cup S_0}^T(k)(p),\F_p) --> H^2(G_{S\cup S_0}^T(k)(p),\F_p) is surjective and the decomposition groups of the primes in S establish a free product inside G_{S\cup S_0}^T(k)(p). This generalizes previous work of the author where similar results were shown in the case T=\emptyset under the restrictive assumption p mid Cl(k) and ζ_p otin k.

研究动机与目标

• 将先前关于算术曲线的 $p$-进基本群的研究结果推广，去除类数满足 $p \nmid \#\mathrm{Cl}(k)$ 和 $\zeta_p \notin k$ 等限制性假设。
• 证明对于任意全局域 $k$，有限集 $S$、$T$，以及狄利克雷密度为零的集合 $M$，可添加有限多个与 $S \cup T \cup M$ 不相交的素数 $S_0$，使得 $G_{S \cup S_0}^T(k)(p)$ 具有理想的上同调与伽罗瓦理论性质。
• 建立 $G_{S \cup S_0}^T(k)(p)$ 的上同调与标记算术曲线 $X \setminus (S \cup S_0), T$ 的 étale 上同调一致，从而推出 $\mathrm{cd} = 2$。
• 证明 $S$ 中素点的分解群在 $G_{S \cup S_0}^T(k)(p)$ 中形成自由积，且该群在每个 $\mathfrak{p} \in S \cup S_0$ 处实现最大 $p$-扩张。
• 证明 Hochschild-Serre 族谱序列的边缘同态在所有 $i \geq 0$ 时为同构，从而确认了 $K(\pi,1)$-性质。

提出的方法

• 利用类域论和局部对偶性，构造一个与 $S \cup T \cup \mathcal{M}$ 不相交的有限素数集 $S_0$，其中 $\mathcal{M}$ 的狄利克雷密度为零。
• 利用温和 $p$-进群理论和 $K(\pi,1)$-性质，控制上同调维数与上乘积结构。
• 应用消去法与局部对偶定理，证明 Hochschild-Serre 族谱序列中边缘同态为同构，从而将群上同调与标记曲线的 étale 上同调联系起来。
• 利用主理想定理与布饶尔群的哈塞原理，证明在逆极限下上同调项的消失性，特别是对对偶性群验证中的 $D_0$ 和 $D_1$。
• 通过证明 $\mathrm{cd} = 2$ 且对偶上同调项 $D_0$ 与 $D_1$ 消失，验证 $G_{S \cup S_0}^T(k)(p)$ 是一个维数为 2 的 $p$-进对偶群。
• 通过群到局部伽罗瓦群的自由 $p$-进积的自然同态是同构，建立分解群的自由积结构。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在不假设 $p \nmid \#\mathrm{Cl}(k)$ 或 $\zeta_p \notin k$ 的条件下，使 $G_{S}^T(k)(p)$ 的上同调维数等于 2？
• RQ2 是否可以添加有限多个与给定集合 $\mathcal{M}$（狄利克雷密度为零）不相交的素数 $S_0$，使得 $G_{S \cup S_0}^T(k)(p)$ 在所有 $\mathfrak{p} \in S \cup S_0$ 处实现局部 $p$-扩张？
• RQ3 在添加此类 $S_0$ 后，上乘积 $H^1 \otimes H^1 \to H^2$ 是否变为满射？
• RQ4 能否证明 $S$ 中素点的分解群在 $G_{S \cup S_0}^T(k)(p)$ 中形成自由积？
• RQ5 Hochschild-Serre 族谱序列的边缘同态是否成为同构，从而表明群上同调与标记算术曲线的 étale 上同调一致？

主要发现

• 对于任意全局域 $k$，奇素数 $p \neq \mathrm{char}(k)$，以及互不相交的有限集 $S$、$T$ 和 $\mathcal{M}$（狄利克雷密度为零），存在一个与 $S \cup T \cup \mathcal{M}$ 不相交的有限素数集 $S_0$，使得 $G_{S \cup S_0}^T(k)(p)$ 具有上同调维数 2。
• 上乘积 $H^1(G_{S \cup S_0}^T(k)(p), \mathbb{F}_p) \otimes H^1(G_{S \cup S_0}^T(k)(p), \mathbb{F}_p) \to H^2(G_{S \cup S_0}^T(k)(p), \mathbb{F}_p)$ 是满射。
• 扩张 $k_{S \cup S_0}^T(p)$ 在所有 $\mathfrak{p} \in S \cup S_0$ 处实现局部域 $k_{\mathfrak{p}}$ 的最大 $p$-扩张 $k_{\mathfrak{p}}(p)$。
• 在 $G_{S \cup S_0}^T(k)(p)$ 中，$S$ 中素点的分解群形成自由积，即从局部伽罗瓦群的自由 $p$-进积到全局群的自然映射是同构。
• 对任意离散的 $p$-挠 $G_{S \cup S_0}^T(k)(p)$-模 $M$，Hochschild-Serre 族谱序列的边缘同态在所有 $i \geq 0$ 时为同构，从而确认群上同调与标记算术曲线的 étale 上同调一致。
• 在较弱条件下，群 $G_{S \cup S_0}^T(k)(p)$ 是一个维数为 2 的 $p$-进对偶群，其对偶模同构于 $k_{S}^T(p)$ 的 $S$-$T$-阿代尔类群的 $p$-挠部分。