[论文解读] On pro-$p$-Iwahori invariants of $R$-representations of reductive $p$-adic groups

Noriyuki Abe, Guy Henniart+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 30, 2017

Advanced Algebra and Geometry被引用 4

一句话总结

本文在重大的 $p$-进李群的 $R$-表示的 pro-$p$-Iwahori不变量与pro-$p$-Iwahori Hecke代数上的模之间建立了精确对应关系，扩展了此前关于抛物诱导的研究。对于特征为 $p$ 的代数闭域 $R$，本文证明了任何具有非零光滑对偶的不可约光滑 $R$-表示 $G$ 必为有限维，从而解决了此类表示分类中的一个关键情形。

ABSTRACT

Let $F$ be locally compact field with residue characteristic $p$, and $\mathbf{G}$ a connected reductive $F$-group. Let $\mathcal{U}$ be a pro-$p$ Iwahori subgroup of $G = \mathbf{G}(F)$. Fix a commutative ring $R$. If $π$ is a smooth $R[G]$-representation, the space of invariants $π^{\mathcal{U}}$ is a right module over the Hecke algebra $\mathcal{H}$ of $\mathcal{U}$ in $G$. Let $P$ be a parabolic subgroup of $G$ with a Levi decomposition $P = MN$ adapted to $\mathcal{U}$. We complement previous investigation of Ollivier-Vignéras on the relation between taking $\mathcal{U}$-invariants and various functor like $\mathrm{Ind}_P^G$ and right and left adjoints. More precisely the authors' previous work with Herzig introduce representations $I_G(P,σ,Q)$ where $σ$ is a smooth representation of $M$ extending, trivially on $N$, to a larger parabolic subgroup $P(σ)$, and $Q$ is a parabolic subgroup between $P$ and $P(σ)$. Here we relate $I_G(P,σ,Q)^{\mathcal{U}}$ to an analogously defined $\mathcal{H}$-module $I_\mathcal{H}(P,σ^{\mathcal{U}_M},Q)$, where $\mathcal{U}_M = \mathcal{U}\cap M$ and $σ^{\mathcal{U}_M}$ is seen as a module over the Hecke algebra $\mathcal{H}_M$ of $\mathcal{U}_M$ in $M$. In the reverse direction, if $\mathcal{V}$ is a right $\mathcal{H}_M$-module, we relate $I_\mathcal{H}(P,\mathcal{V},Q)\otimes extrm{c-Ind}_\mathcal{U}^G\mathbf{1}$ to $I_G(P,\mathcal{V}\otimes_{\mathcal{H}_M} extrm{c-Ind}_{\mathcal{U}_M}^M\mathbb{1},Q)$. As an application we prove that if $R$ is an algebraically closed field of characteristic $p$, and $π$ is an irreducible admissible representation of $G$, then the contragredient of $π$ is $0$ unless $π$ has finite dimension.

研究动机与目标

• 将 $I_G(P,\sigma,Q)$ 的 pro-$p$-Iwahori 不变量与 pro-$p$-Iwahori Hecke 代数 $\mathcal{H}$ 上的 Hecke 模联系起来。
• 将 Ollivier-Vignéras 和 Abe-Henniart-Vignéras 的框架扩展至包含 pro-$p$-Iwahori 子群不变量的情形。
• 证明当 $R$ 为特征 $p$ 的代数闭域时，任何具有非零光滑对偶的不可约光滑 $R$-表示 $G$ 必为有限维。
• 在模 $p$ 表示理论背景下建立一个对偶性结果，推广特征 0 中的结果。

提出的方法

• 构造 $I_G(P,\sigma,Q)^\mathcal{U}$ 与 $\mathcal{H}$-模 $I_\mathcal{H}(P,\sigma^{\mathcal{U}_M},Q)$ 之间的对应关系，其中 $\sigma^{\mathcal{U}_M}$ 是 $\sigma$ 关于 $\mathcal{U}_M$ 的不变子空间。
• 使用 pro-$p$-Iwahori 子群 $\mathcal{U}$ 的 Hecke 代数 $\mathcal{H}$ 及其 Levi 子代数 $\mathcal{H}_M$（对应 $\mathcal{U}_M = \mathcal{U} \cap M$），研究 $\mathcal{H}_M$-模的扩张性质。
• 通过函子 $\mathcal{V} \mapsto \mathcal{V} \otimes_{\mathcal{H}_M} \operatorname{c-Ind}_{\mathcal{U}_M}^M \mathbf{1}$ 应用 $(-)^{\mathcal{U}}$ 的右伴随函子，将 $\mathcal{H}$-模与 $G$-表示联系起来。
• 利用超奇异 $\mathcal{H}_R$-模的分类以及普遍表示 $I_\mathcal{H}(P,\mathcal{V},Q) \otimes_\mathcal{H} R[\mathcal{U} \backslash G]$ 的结构，分析不变量。
• 在 Hecke 代数设定下应用抛物诱导与余诱导的理论，特别使用模 $\mathrm{St}_Q^{P(\sigma)}$ 作为基本构建块。
• 利用与超奇异表示相关的特征 $\chi$ 推导出系数 $a_w$ 的约束，除非 Weyl 群平凡，否则导致矛盾。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将 $I_G(P,\sigma,Q)$ 的 pro-$p$-Iwahori 不变量与 pro-$p$-Iwahori Hecke 代数 $\mathcal{H}$ 上的 Hecke 模联系起来？
• RQ2 能否显式地用 $\sigma^{\mathcal{U}_M}$ 和 Hecke 代数 $\mathcal{H}_M$ 描述 $I_G(P,\sigma,Q)^\mathcal{U}$ 的 $\mathcal{H}$-模结构？
• RQ3 在何种条件下，$G$ 的不可约光滑 $R$-表示的光滑对偶为零，何时为非零？
• RQ4 超奇异 $\mathcal{H}_M$-模在决定 $I_G(P,\sigma,Q)$ 的有限性中起什么作用？
• RQ5 能否通过 Hecke 代数方法在正特征下确立具有非零光滑对偶的不可约光滑表示的有限维性？

主要发现

• pro-$p$-Iwahori 不变量空间 $I_G(P,\sigma,Q)^\mathcal{U}$ 同构于 $\mathcal{H}$-模 $I_\mathcal{H}(P,\sigma^{\mathcal{U}_M},Q)$，在表示论不变量与 Hecke 代数不变量之间建立了精确联系。
• 对任意右 $\mathcal{H}_M$-模 $\mathcal{V}$，张量积 $I_\mathcal{H}(P,\mathcal{V},Q) \otimes_{\mathcal{H}} \operatorname{c-Ind}_{\mathcal{U}}^G \mathbf{1}$ 同构于 $I_G(P, \mathcal{V} \otimes_{\mathcal{H}_M} \operatorname{c-Ind}_{\mathcal{U}_M}^M \mathbf{1}, Q)$，表明抛物诱导与 Hecke 代数运算之间具有相容性。
• 若 $R$ 为特征 $p$ 的代数闭域，则任何具有非零光滑对偶的不可约光滑 $R$-表示 $\pi$ 必为有限维。
• 该证明依赖于当 $\sigma$ 为超宾超时，$\sigma^{\mathcal{U}_M}$ 中存在一个超奇异 $\mathcal{H}_M$-子模，这迫使 Levi 子群 $M$ 为中心，从而有限。
• 该论证利用了 $\sigma$ 的光滑对偶非零这一事实，推导出 $M = Z$（中心），从而 $\sigma$ 为有限维，故 $\pi = I_G(P,\sigma,G)$ 也为有限维。
• 该结果在 $F$ 的剩余特征任意时均成立，且不依赖于特征 0 的结果，因此在完整的模 $p$ 设置下成立。