[论文解读] On problems related to crossing families

Dumitrescu, Adrian, Pach, János|arXiv (Cornell University)|Jun 1, 2019

Computational Geometry and Mesh Generation参考文献 19被引用 1

一句话总结

该论文将点集中交叉族大小的上界从 n/4 提高到 5⌈n/24⌉，引入了广义概念如刺穿族、辐条集和 M-半交替路径。通过利用几何对偶性和 1-避免点集中的分离性质，推导出更紧致的界，证明了在任意 n 点集中，最大刺穿族的大小恰好为 n/2。

ABSTRACT

A complete geometric graph consists of a set P of n points in the plane, in general position, and all segments (edges) connecting them. It is a well known question of Bose, Hurtado, Rivera-Campo, and Wood, whether there exists a positive constant c < 1, such that every complete geometric graph on n points can be partitioned into at most cn plane graphs (that is, noncrossing subgraphs). We answer this question in the affirmative in the special case where the underlying point set P is dense, which means that the ratio between the maximum and the minimum distances in P is of the order of Θ(√n).

研究动机与目标

• 将点集中交叉族大小的上界从 n/4 提高到 5⌈n/24⌉。
• 通过几何和组合扩展，推广交叉族的概念，包括刺穿族和辐条集。
• 研究 1-避免点集的结构性质，并利用其分离行为来构造具有小交叉族的极值点集。
• 通过线排列和双楔形对几何构型的对偶表示进行分析，推导出广义交叉结构的界。
• 建立刺穿族和 M-半交替路径的紧致界，促进对几何交集模式的更广泛理解。

提出的方法

• 利用分离性质构造极值点集：若点集 A、B、C 满足 A 将 B 与 C 分离，则所有交叉族中的线段必须与 A、B 或 C 相邻。
• 使用几何对偶性将原平面中的线段转换为对偶平面上的双楔形，使交叉和刺穿关系对应于包含与非包含关系。
• 对对偶排列进行 90° 旋转，将非交叉匹配转换为刺穿族，从而证明刺穿族大小的上界为 n/2。
• 引入边兼容子集和 M-半交替路径的概念，以推广并界定 1-避免构型中类似交叉的结构。
• 利用哈姆沙姆切分和对偶排列中非交叉双色匹配的归纳构造，确保结构的一致性。
• 证明在 1-避免集合中，存在一个完美双色非交叉匹配，该匹配通过对应变换在原平面中转化为刺穿族。

实验结果

研究问题

• RQ1 在一般位置的 n 个点集中，交叉族的最大可能大小是多少？
• RQ2 n/4 的交叉族大小上界能否被改进？若能，改进幅度如何？
• RQ3 广义结构如刺穿族、辐条集和 M-半交替路径与经典交叉族之间有何关系？
• RQ4 1-避免点集中的哪些结构约束限制了交叉族的大小？
• RQ5 在任意 n 点集中，刺穿族的最大大小是多少？能否得到紧致的上界？

主要发现

• 交叉族大小的上界从 n/4 提高到 5⌈n/24⌉，显著收紧了已知最坏情况的界。
• 在任意一般位置的 n 点集中，刺穿族的最大大小恰好为 n/2，且该界是紧致的。
• 在 1-避免点集中，存在一个完美双色非交叉匹配，该匹配通过对应变换在原平面中转化为刺穿族。
• 建立了大小至多为 n/4 + 1 的辐条集，优于先前的上界 9n/20。
• 论文指出了 Schnider 对 1-避免集合中辐条集大小为 n/4 的声称存在缺陷，证明其推理不成立。
• 引入了 M-半交替路径作为广义对偶结构，其大小与其它几何构型相关联，从而得出新的上界。