[论文解读] On projective two-dimensional Finsler spaces with special metric

V. K. Kropina|ArXiv.org|May 30, 2006

Advanced Differential Geometry Research被引用 37

一句话总结

本文对具有两种特殊Finsler度量的二维射影Finsler空间进行分类：一种为有理二次除以线性形式，另一种为三次齐次形式。利用射影性条件（射影曲率张量为零），证明了此类空间为Minkowski空间当且仅当其具有直线测地线，并进一步表明，具有这些度量的非Minkowski射影Finsler空间不可能具有常曲率。

ABSTRACT

We present the English translation of the paper where one special class of Finsler spaces was introduced. Now this class is known as so called "Kropina spaces". The article was written in 1958 and published in Russian in "Trudy seminara po vektornomu i tenzornomu analizu" ("Workshops of the Seminar in vector and tensor Analysis"), vol. XI, 1961.

研究动机与目标

• 确定所有具有度量 $ L = \frac{AX^2 + BXY + CY^2}{X + DY} $ 的二维Finsler空间中，哪些是射影的（即具有直线测地线）。
• 建立此类空间退化为Minkowski空间的必要且充分条件。
• 研究具有三次度量 $ L^3 = A X^3 + B Y^3 + 3C X^2 Y + 3D X Y^2 $ 的射影Finsler空间是否可能具有常曲率。
• 利用微分方程分析射影性条件对这些特殊度量的几何影响。

提出的方法

• 推导出度量分量必须满足的偏微分方程组 (6)，以确保在射影坐标系中测地线为直线。
• 在假设 $ D \neq 0 $ 的前提下，将度量 $ L = \frac{AX^2 + BXY + CY^2}{X + DY} $ 的一般方程组 (I) 化为等价形式 (I')，从而简化分析。
• 对三次度量 $ L^3 = A X^3 + B Y^3 + 3C X^2 Y + 3D X Y^2 $ 应用射影性条件，推导出系数 $ A, B, C, D $ 的复杂偏微分方程组，假设 $ B \neq 0 $。
• 单独分析例外情况 $ B = 0 $，表明即使在此情况下，所得空间仍为Minkowski空间。
• 利用由射影性条件导出的包含函数 $ p $ 的方程组 (III)，证明当 $ B \neq 0 $ 时，所有此类空间均为Minkowski空间。
• 通过推导出的PDE组与曲率分析，验证非Minkowski射影Finsler空间的曲率标量不可能为常数。

实验结果

研究问题

• RQ1 哪些具有度量 $ L = \frac{AX^2 + BXY + CY^2}{X + DY} $ 的二维Finsler空间是射影的，即具有直线测地线？
• RQ2 在何种条件下，具有该度量的Finsler空间会退化为Minkowski空间？
• RQ3 具有三次度量 $ L^3 = A X^3 + B Y^3 + 3C X^2 Y + 3D X Y^2 $ 的二维射影Finsler空间是否可能具有常曲率？
• RQ4 是否存在非Minkowski的Finsler空间，其具有给定的三次度量且为射影的？
• RQ5 判别式 $ R = (AB - DC)^2 - 4(AD - C^2)(CB - D^2) \neq 0 $ 在确定空间性质方面起什么作用？

主要发现

• 所有具有度量 $ L = \frac{AX^2 + BXY + CY^2}{X + DY} $ 且具有直线测地线的二维Finsler空间，当且仅当其系数满足推导出的方程组 (I') 及非退化条件 $ \Delta = AD^2 - BD + C \neq 0 $ 时，为Minkowski空间。
• 任何具有度量 $ L = \frac{AX^2 + BXY + CY^2}{X + DY} $ 的非Minkowski射影Finsler空间的曲率标量都不可能为常数。
• 对于三次度量 $ L^3 = A X^3 + B Y^3 + 3C X^2 Y + 3D X Y^2 $，所有满足 $ B \neq 0 $ 的射影空间均为Minkowski空间，这通过验证函数 $ p $ 满足Minkowski条件 (III) 得到证明。
• 即使在例外情况 $ B = 0 $ 下，由该三次度量所得的Finsler空间仍为Minkowski空间，通过直接积分射影性条件验证。
• 分析确认，具有该三次度量且非零判别式 $ R \neq 0 $ 的射影Finsler空间仅包含Minkowski空间。
• 本文结论为：具有给定度量且具有直线测地线的Finsler空间为Minkowski空间当且仅当其为平坦的（常曲率为零），且不存在具有常曲率的非Minkowski例子。