[论文解读] On projective varieties $n$-covered by curves of degree $δ$

Luc Pirio, Francesco Russo|arXiv (Cornell University)|Sep 16, 2011

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 46被引用 9

一句话总结

本文对被次数为 $\delta$ 的曲线 $n$-覆盖的复射影簇 $\overline{X}(r+1,n,\delta)$ 进行分类，通过 Castelnuovo 型界限建立其线性张成维数的精确上界。关键结果表明，极值簇为有理正则柱面或关于三次 Jordan 代数的扭三次曲线，且提出一个猜想，将这些几何对象与二次二次 Cremona 变换及 Jordan 代数联系起来。

ABSTRACT

As proved recently in [PT], for varieties $X^{r+1}\subset \mathbb P^N$ such that through $n\geq 2$ general points there passes an irreducible curve $C$ of degree $δ\geq n-1$ we have $N\leq π(r,n,δ+r(n-1)+2)$, where $π(r,n,d)$ is the Castelnuovo-Harris bound function for the geometric genus of an irreducible non-degenerate variety $Y^r\subset\mathbb P^{n+r-1}$ of degree $d$. A lot of examples of varieties as in the title and attaining the previous bound for the embedding dimension are constructed from Castelnuovo varieties and were thus dubbed {\it of Castelnuovo type} in [PT], where it is also proved that all extremal varieties as above are of this kind, except possibly when $n>2$, $r>1$ and $δ=2n-3$. One of the main results of the paper is the classification of extremal varieties $X^{r+1}\subset \mathbb P^{2r+3}$ 3-covered by twisted cubics and not of Castelnuovo type. Interesting examples are provided by the so called {\it twisted cubics over complex Jordan algebras of rank 3}, as pointed out by Mukai. By relating to an extremal variety 3-covered by twisted cubics, via tangential projection, a quadro-quadric Cremona transformation in $\mathbb P^r$ we are able to classify all these object either for $r\leq 4$ or under the smoothness assumption. In the last case we obtain that they are either smooth rational normal scrolls (hence of Castelnuovo type) or the Segre embeddings of $\p^1 imes Q^r$ or one of the four Lagrangian Grassmannians. We end by discussing some open problems pointing towards the equivalence of these apparently unrelated objects: extremal varieties 3-covered by twisted cubics, quadro-quadric Cremona transformations of $\mathbb P^r$ and complex Jordan algebras of dimension $r+1$ and of rank three.

研究动机与目标

• 对复射影簇 $X(r+1,n,\delta) \subset \mathbb{P}^N$ 进行分类，这些簇被次数为 $\delta$ 的不可约曲线 $n$-覆盖，尤其关注极值情形。
• 利用 Castelnuovo-Harris 界，建立此类簇的线性张成维数的精确上界。
• 研究极值簇 $\overline{X}(r+1,n,\delta)$ 的结构，特别关注开情形 $\delta = 2n-3$，并在 $n=3$ 时完成其分类。
• 探讨这些簇、三次 Jordan 代数与 $\mathbb{P}^r$ 上的二次二次 Cremona 变换之间的联系。
• 提出一个射影等价性猜想：$\overline{X}(r+1,3,3)$、关于三次 Jordan 代数的扭三次曲线，以及 $\mathbb{P}^r$ 上的二次二次 Cremona 变换彼此等价。

提出的方法

• 利用截触空间并从其进行迭代投影，推导出维数上界 $\dim\langle X(r+1,n,\delta)\rangle \leq \overline{\pi}(r,n,\delta) - 1$，其中 $\overline{\pi}(r,n,\delta) = \pi(r,n,d)$ 且 $d = \delta + r(n-1) + 2$。
• 应用 Castelnuovo 理论及 Castelnuovo 簇的理论，构造并分类极值例子 $\overline{X}(r+1,n,\delta)$。
• 分析在 $X$ 上的线性系统 $|D|$，其中 $D$ 为满足 $(D\cdot C) = \delta$ 的 Cartier 除子，证明 $h^0(\mathcal{O}_X(D)) \leq \overline{\pi}(r,n,\delta)$，且等式成立当且仅当 $X$ 有理映射到 $\overline{X}(r+1,n,\delta)$。
• 利用 nef 性条件推导出次数上界 $D^{r+1} \leq \delta^{r+1}/(n-1)^r$。
• 通过 $\delta$-Veronese 嵌入及 $\mathbb{P}^1 \times Q^r$ 的 Segre 嵌入几何构造例子。
• 借助 web 几何及最大秩 web 的代数化结果，将分类与 Cremona 变换联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 被次数为 $\delta$ 的曲线 $n$-覆盖的簇 $\overline{X}(r+1,n,\delta)$ 的完整射影分类是什么？
• RQ2 达到最大线性张成维数的极值簇 $\overline{X}(r+1,n,\delta)$ 如何与 Castelnuovo 簇及有理正则柱面相关？
• RQ3 所有非 Castelnuovo 型的 $\overline{X}(r+1,3,3)$ 簇是否射影等价于关于三次 Jordan 代数的扭三次曲线？
• RQ4 每个 $\mathbb{P}^r$ 上的二次二次 Cremona 变换是否可实现为从一个二次曲面超曲面的有理投影？这与 $\overline{X}(r+1,3,3)$ 有何关系？
• RQ5 三个不同的数学对象——$\overline{X}(r+1,3,3)$、维数为 $r+1$ 的三次 Jordan 代数，以及 $\mathbb{P}^r$ 上的二次二次 Cremona 变换——是否在同构或射影等价意义下完全一致？

主要发现

• 任意 $X(r+1,n,\delta)$ 的线性张成满足 $\dim\langle X(r+1,n,\delta)\rangle \leq \overline{\pi}(r,n,\delta) - 1$，且等式成立当且仅当 $X$ 射影等价于 $\overline{X}(r+1,n,\delta)$。
• 对于被曲线 $n$-覆盖的簇上满足 $(D\cdot C) = \delta$ 的 Cartier 除子 $D$，其完整线性系统维数满足 $h^0(\mathcal{O}_X(D)) \leq \overline{\pi}(r,n,\delta)$，且等式成立当且仅当 $X$ 有理映射到 $\overline{X}(r+1,n,\delta)$。
• 当 $h^0(\mathcal{O}_X(D)) = \overline{\pi}(r,n,\delta)$ 时，簇 $X$ 是有理的，且通过 $n$ 个一般点恰存在一条光滑有理曲线 $C$ 满足 $(D\cdot C) = \delta$。
• 若 $D$ 为 nef，则 $D^{r+1} \leq \delta^{r+1}/(n-1)^r$，这推广了 Fano 对 $n=2$ 的经典结果。
• 当 $n=3$，$r=3$，$ \delta=3$ 时，$\overline{X}(4,3,3) \subset \mathbb{P}^9$ 的分类给出两类：度数为 6 的光滑有理正则柱面（如 $S_{1113}$ 或 $S_{1122}$）或关于三次 Jordan 代数的扭三次曲线。
• 对 $\mathbb{P}^3$ 上类型为 $(2,2)$ 的二次 Cremona 变换的分类表明，它们要么是线性的，要么与 $\mathbb{C}^4$ 上的七个三次 Jordan 代数相关，从而证实了 $r=3$ 时的猜想。