[论文解读] On projectively equivalent metrics near points of bifurcation

Vladimir S. Matveev|arXiv (Cornell University)|Sep 21, 2008

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 26被引用 10

一句话总结

本文通过提供在一种度量相对于另一种度量的特征值发生分岔的点附近的局部分类，推广了Levi-Civita关于射影等价黎曼度量的定理。基于特征值重数和几何结构的分解过程，证明了在任意此类点附近，度量具有标准的局部积形式，将经典描述扩展到了特征值合并的奇异情形。

ABSTRACT

Let Riemannian metrics $g$ and $\bar g$ on a connected manifold $M^n$ have the same geodesics (considered as unparameterized curves). Suppose the eigenvalues of one metric with respect to the other are all different at a point. Then, by the famous Levi-Civita's Theorem, the metrics have a certain standard form near the point. Our main result is a generalization of Levi-Civita's Theorem for the points where the eigenvalues of one metric with respect to the other bifurcate.

研究动机与目标

• 将Levi-Civita关于射影等价度量的古典定理推广至一种度量相对于另一种度量的特征值发生分岔的点。
• 描述在特征值简并（重数≥2）点附近的射影等价度量的局部几何结构。
• 建立在分岔点附近，此类度量可分解为标准局部积结构。
• 为理解闭流形上射影等价度量的全局行为提供基础。
• 通过证明在某点附近度量严格非比例的流形在局部上同胚于球面或标准三元组的积，支持测地线刚性猜想。

提出的方法

• 分析张量 $ g^{-1} \bar{g} $ 的特征值结构，以对分岔点（即特征值重合的点）进行分类。
• 使用第2.2节中的分解过程，将流形局部分解为互补维数的正交叶状结构。
• 通过归纳法降低维数，将问题归约为已知标准形式的低维情形。
• 采用“原始标准三元组”概念——即在1、2和3维中的局部模型——其积生成标准形式。
• 依赖于具有不同特征值的度量可引入Levi-Civita坐标这一事实，并通过几何分解将其推广至退化情形。
• 利用特征值重数≤3的点构成余维数为1或2的全测地子流形这一事实，从而实现局部积结构。

实验结果

研究问题

• RQ1 在一种度量相对于另一种度量的特征值发生分岔的点附近，射影等价黎曼度量的行为如何？
• RQ2 经典的Levi-Civita坐标描述能否推广至特征值简并的点？
• RQ3 当特征值合并时，射影等价度量的局部几何结构是什么？
• RQ4 分岔点的存在如何影响射影等价度量的全局分类？
• RQ5 局部积结构在退化特征值构型附近此类度量的分类中起什么作用？

主要发现

• 在任意一种度量相对于另一种度量的特征值发生分岔的点附近，度量具有局部标准形式，即原始标准三元组的积。
• 特征值重数至多为三的点构成全测地子流形：重数为二时余维数为二，重数为三时余维数为一。
• 在分岔点附近的局部结构是低维标准度量三元组的直积，从而实现归纳分类。
• 主要结果（定理10）表明，任意连通流形上严格非比例的射影等价度量，其每一点都有一个邻域微分同胚于原始标准三元组的积。
• 该结果支持测地线刚性猜想：若在某点处度量严格非比例，则流形是球面的有限覆盖，且其结构为球面的积。
• 通过线性变换的拉回，球面 $ S^n $ 允许存在严格非比例的射影等价度量，证实了此类度量在标准空间上的存在性。