[论文解读] On Properties of Differential Inclusions with Prox-regular Sets

Ba Khiet Le|arXiv (Cornell University)|Jun 16, 2016

Mathematical Control Systems and Analysis参考文献 7被引用 4

一句话总结

该论文研究了希尔伯特空间中 uniformly prox-regular 集合的法锥所涉及的微分包含解的正则性与渐近性质，且无需对向量场施加切向条件。证明了解在右端可微且导数右连续，并推导了梯度型系统的 Lyapunov 型收敛结果，表明在 $C^{1,+}$ 势函数于该集合上达到下确界时解有界并收敛。

ABSTRACT

In this paper, some regularity properties of solutions of the following differential inclusion \begin{equation} onumber \left\{ \begin{array}{l} \dot{x}(t) \in f\big(x(t)\big) -N_{C}\big(x(t)\big)\; { m a.e.} \; t \in [0,+\infty), x(0) = x_0\in C, \end{array} ight. \end{equation} are analyzed where $f: H o H$ is Lipschitz continuous and $C$ is closed, uniformly prox-regular subset of a Hilbet space $H$. Here $N_{C}(\cdot)$ denotes the proximal normal cone of $C$. This work can be considered as an improvement of [Hantoute-Mazade 2013] since these properties are established without the additional tangential condition at each point in $C$.

研究动机与目标

• 研究涉及 uniformly prox-regular 集合法锥的微分包含解的正则性性质。
• 在不施加切向条件的前提下，建立解的右可微性与导数的右连续性。
• 研究当向量场为 $C^{1,+}$ 函数的负梯度时，解的渐近行为。
• 在凸性与有界性假设下，证明解在集合上最小化势函数。

提出的方法

• 分析依赖于希尔伯特空间中 prox-regular 集合与法锥的理论，特别是极限法锥 $N(C,x)$。
• 通过 proximal 法锥与度量投影的性质，证明解是局部绝对连续且右可微。
• 利用微分包含的结构与 $f$ 的利普希茨连续性，证明导数 $\dot{x}^+(t)$ 是右连续的。
• 对于渐近分析，系统被重述为 $\dot{x}(t) \in -\nabla V(x(t)) - N(C,x(t))$，并计算了 $V(x(t))$ 的时间导数，以证明几乎处处有 $\frac{d}{dt}V(x(t)) + \|\dot{x}(t)\|^2 = 0$。
• 对 $\varphi(t) = \frac{1}{2}\|x(t)-y\|^2$ 应用 Gronwall 不等式，结合 $r$-prox-regular 性与 $V$ 的凸性，推导出收敛界。
• 证明利用了几乎处处有 $\dot{x}(t) + \nabla V(x(t)) \in -N(C,x(t))$，这意味着对 $C$ 中的点到距离的次梯度不等式成立。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 $f$ 为利普希茨连续且 $C$ 为 uniformly prox-regular 时，微分包含 $\dot{x}(t) \in f(x(t)) - N_C(x(t))$ 的解是否保持右可微且导数右连续？
• RQ2 是否可以在不施加切向条件 $f(x) \in T(C,x)$ 的前提下建立解的正则性？
• RQ3 当 $f(x) = -\nabla V(x)$ 且 $V$ 为 $C^{1,+}$ 函数时，解的渐近行为如何？
• RQ4 在何种条件下，解会收敛到 $V$ 在 $C$ 上的下确界？

主要发现

• 解 $x(\cdot)$ 在 $[0,\infty)$ 上右可微，且 $\dot{x}^+(\cdot)$ 在每个 $t \geq 0$ 处右连续。
• 当 $f(x) = -\nabla V(x)$ 且 $V$ 为 $C^{1,+}$ 时，几乎处处有 $\frac{d}{dt}V(x(t)) + \|\dot{x}(t)\|^2 = 0$。
• 若 $V$ 是强制的，则 $x(\cdot)$ 在 $[0,\infty)$ 上有界。
• 若 $V$ 在 $C$ 上有下界，则 $\lim_{t \to \infty} V(x(t)) = V_\infty$ 存在，且 $\int_0^\infty \|\dot{x}(s)\|^2 ds = V(x_0) - V_\infty$。
• 若 $V$ 为凸函数且在 $C$ 上有下界，则 $V_\infty = \inf_{y \in C} V(y)$，因此轨迹在 $C$ 上最小化 $V$。