[论文解读] On properties of the Generalized Wasserstein distance

Benedetto Piccoli, Francesco Rossi|arXiv (Cornell University)|Apr 25, 2013

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 5被引用 6

一句话总结

本文引入并分析了广义 Wasserstein 距离 $W_{p}^{a,b}$，通过加权质量传输与质量生成/销毁，统一了最优传输与总变差。本文建立了两个关键结果：一个广义的 Benamou-Brenier 公式，将 $W_2^{a,b}$ 与结合了动能和源项的泛函联系起来；以及一个 Kantorovich-Rubinstein 型对偶性，表明 $W_1^{1,1}$ 等于平坦度量，将经典对偶性推广至质量变化的测度。

ABSTRACT

The Wasserstein distances $W_p$ ($p\geq 1$), defined in terms of solution to the Monge-Kantorovich problem, are known to be a useful tool to investigate transport equations. In particular, the Benamou-Brenier formula characterizes the square of the Wasserstein distance $W_2$ as the infimum of the kinetic energy, or action functional, of all vector fields moving one measure to the other. Another important property of the Wasserstein distances is the Kantorovich-Rubinstein duality stating the equality between the distance $W_1$ and the supremum of the integrals of Lipschitz continuous functions with Lipschitz constant bounded by one. An intrinsic limitation of Wasserstein distances is the fact that they are defined only between measures having the same mass. To overcome such limitation, we recently introduced the generalized Wasserstein distances $W_p^{a,b}$, defined in terms of both the classical Wasserstein distance $W_p$ and the total variation (or $L^1$) distance. Here $p$ plays the same role as for the classic Wasserstein distance, while $a$ and $b$ are weights for the transport and the total variation term. In this paper we prove two important properties of the generalized Wasserstein distances: 1) a generalized Benamou-Brenier formula providing the equality between $W_2^{a,b}$ and the supremum of an action functional, which includes a transport term (kinetic energy) and a source term. 2) a duality à la Kantorovich-Rubinstein establishing the equality between $W_1^{1,1}$ and the flat metric.

研究动机与目标

• 将 Wasserstein 距离框架扩展至允许总质量不等的测度，克服经典 Wasserstein 距离的一个关键局限。
• 定义广义距离 $W_p^{a,b}$，通过权重 $a$ 和 $b$ 平衡传输成本与总变差成本。
• 建立 $W_2^{a,b}$ 的广义 Benamou-Brenier 公式，以包含传输与源项的泛函形式表达。
• 证明 $W_1^{1,1}$ 的对偶性结果，表明其等于平坦度量，将 Kantorovich-Rubinstein 定理推广至质量不等的测度。

提出的方法

• 将广义 Wasserstein 距离 $W_p^{a,b}( u_0, u_1)$ 定义为在中间测度 $\tilde{\mu}, \tilde{\nu}$ 总质量相等条件下的最小化问题的 $p$ 次根。
• 构造广义作用泛函 $\mathcal{B}^{a,b}[\mu, v, h] = a^2 \left( \int_0^1 \|h_t\|_{TV} dt \right)^2 + b^2 \int_0^1 \int |v_t|^2 d\mu_t dt$，结合源项与传输成本。
• 通过构造近似解序列 $(\mu^k, v^k, h^k)$ 并证明其收敛于最优作用，证明广义 Benamou-Brenier 公式。
• 利用正则化与动能项 $|m_t|^2 / \rho_t$ 的凸性，通过极限论证将结果推广至 $L^2$ 向量场。
• 通过证明 $W_1^{1,1}(\mu, \nu) = \sup \left\{ \int f d(\mu - \nu) \, : \, \|f\|_{Lip} \leq 1, \|f\|_{C^0} \leq 1 \right\}$ 建立对偶性，证明其等于平坦度量。
• 利用最优传输中的已知结果，如最优映射的存在性与标准 Benamou-Brenier 公式，构建广义理论。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否将 Benamou-Brenier 公式推广至存在非零源项（即质量不守恒）的测度动力学？
• RQ2 广义 Wasserstein 距离 $W_2^{a,b}$ 是否具有包含传输与源项的变分表征？
• RQ3 是否存在类似于 Kantorovich-Rubinstein 定理的 $W_1^{1,1}$ 对偶性结果，即使测度质量不等？
• RQ4 广义距离 $W_p^{a,b}$ 是否可表征为包含质量生成与传输成本的合适作用泛函的下确界？
• RQ5 当 $a = b = 1$ 时，广义距离与平坦度量有何关系？

主要发现

• 广义 Wasserstein 距离 $W_1^{1,1}(\mu, \nu)$ 恰好等于平坦度量，建立了与 Kantorovich-Rubinstein 定理类似的对偶性，适用于质量不等的测度。
• 广义 Benamou-Brenier 公式成立：$T_2^{a,b}(\mu_0, \mu_1) = \inf \left\{ \mathcal{B}^{a,b}[\mu, v, h] \ \middle| \ \partial_t \mu_t + \nabla \cdot (v_t \mu_t) = h_t, \ \mu_0, \mu_1 \text{ 固定} \right\}$，其中 $\mathcal{B}^{a,b}$ 结合了源项与传输成本。
• 作用泛函 $\mathcal{B}^{a,b}$ 在变量 $\mu_t, v_t, h_t$ 上是凸的，使得变分方法得以应用。
• 广义距离 $W_2^{a,b}$ 可表征为所有满足带源项连续性方程的解中作用泛函 $\mathcal{B}^{a,b}$ 的下确界。
• 近似解序列 $(\mu^k, v^k, h^k)$ 满足 $\lim_{k \to \infty} \mathcal{B}^{a,b}[\mu^k, v^k, h^k] \leq (1 - 2^{-k+1})^{-1} T_2^{a,b}(\mu_0, \mu_1)$，证明其收敛于最优值。
• 当 $a = 0$ 时，广义距离 $W_p^{a,b}$ 退化为标准 Wasserstein 距离 $W_p$；当 $b = 0$ 时，退化为总变差距离，表明其与经典情形一致。