[论文解读] On pseudo-Anosov autoequivalences

Yu-Wei Fan, Simion Filip+3 more|arXiv (Cornell University)|Oct 27, 2019

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 41被引用 6

一句话总结

本文通過迭代下質量增長率引入了三角化 категор裡偽阿諾索夫自同構的新定義，基於布里吉代爾穩定結構。該定義推廣了先前排除某些作用於同調上平凡的塞爾斯頓型映射的定義，並證明此類自同構在穩定結構流形上作用為雙曲，進而構造了五次卡勒-雅可比三流形與量子3-卡勒-雅可比分類上的新例子。

ABSTRACT

Motivated by results of Thurston, we prove that any autoequivalence of a triangulated category induces a filtration by triangulated subcategories, provided the existence of Bridgeland stability conditions. The filtration is given by the exponential growth rate of masses under iterates of the autoequivalence, and only depends on the choice of a connected component of the stability manifold. We then propose a new definition of pseudo-Anosov autoequivalences, and prove that our definition is more general than the one previously proposed by Dimitrov, Haiden, Katzarkov, and Kontsevich. We construct new examples of pseudo-Anosov autoequivalences on the derived categories of quintic Calabi-Yau threefolds and quiver Calabi-Yau categories. Finally, we prove that certain pseudo-Anosov autoequivalences on quiver 3-Calabi-Yau categories act hyperbolically on the space of Bridgeland stability conditions.

研究动机与目标

• 推廣現有三角化分類中偽阿諾索夫自同構的定義，該定義排除了作用於同調上平凡的某些塞爾斯頓型映射。
• 在布里吉代爾穩定結構下，根據自同構迭代下質量的指數增長率，建立三角化分類的濾子結構。
• 證明新定義能捕捉穩定結構流形上的雙曲動力系統，並推廣已知的DHKK偽阿諾索夫自同構結果。
• 在五次卡勒-雅可比三流形的導出分類與量子3-卡勒-雅可比分類上，構造偽阿諾索夫自同構的顯式例子。
• 證明某些偽阿諾索夫自同構在布里吉代爾穩定結構空間上作用為雙曲，其平移長度與拉伸因子的對數相關。

提出的方法

• 利用自同構迭代下質量函數的指數增長率，定義三角化子分類的濾子結構。
• 使用布里吉代爾穩定結構定義對象上的質量函數，其中質量對應於類比幾何中測地線的長度。
• 引入商分類上的相對質量函數 $ i_*^{ ilde{ ho}} u $ 以處理濾子結構的構造。
• 證明濾子結構是良定義的，且透過質量函數的拉回與推出與商映射相容。
• 利用單值性與變換函子，在五次卡勒-雅可比三流形的導出分類與量子3-卡勒-雅可比分類上構造顯式自同構。
• 透過矩陣計算自同構在同調上的作用，並分析其特徵值，以驗證偽阿諾索夫性質。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否提出一個更廣義的偽阿諾索夫自同構定義，使其包含作用於同調上平凡的塞爾斯頓映射所誘導的自同構？
• RQ2 自同構迭代下質量的指數增長率與三角化分類的結構有何關係？
• RQ3 新定義的偽阿諾索夫自同構是否意味著在布里吉代爾穩定結構空間上作用為雙曲？
• RQ4 在卡爾勒-雅可比三流形與量子分類的導出分類上，偽阿諾索夫自同構的顯式例子為何？
• RQ5 自同構在穩定結構流形上的平移長度是否與拉伸因子的對數相關，如古典情形所示？

主要发现

• 新定義的偽阿諾索夫自同構嚴格比DHKK定義更廣泛，因其包含由某些作用於同調上平凡的塞爾斯頓映射所誘導的自同構。
• 任何具有布里吉代爾穩定結構的三角化分類中的自同構，均會根據其迭代下質量的指數增長率，誘導出三角化子分類的濾子結構。
• 五次卡勒-雅可比三流形的導出分類上的自同構具有拉伸因子 $ \frac{1}{4}(9 + 3\bar{5} + \bar{110 + 54\bar{5}}) $，此即其在同調上作用的主特徵值。
• 對應於非實特徵值的複特徵向量張成的空間不包含任何有理向量，暗示單值性作用不在 $ \bar{\mathbb{Q}} $ 上定義。
• 自同構在布里吉代爾穩定結構空間上作用為雙曲，其平移長度 $ \tau(f) = \log \lambda(f) $，與古典的泰希米勒理論關係一致。
• 該構造在量子3-卡勒-雅可比分類上產生了偽阿諾索夫自同構的新例子，擴展了此類自同構的已知範疇。