[论文解读] On Pseudo-disk Hypergraphs

Boris Aronov, Anirudh Donakonda+2 more|arXiv (Cornell University)|Feb 24, 2018

Computational Geometry and Mesh Generation参考文献 23被引用 6

一句话总结

本文建立了伪圆盘超图 H(P, F) 中大小至多为 k 的超边数量的 O(nk³) 上界，其中 P 是伪圆盘的有限子集，边对应于与 F 中其他伪圆盘的交集。该结果使得在平面伪圆盘集合中，能够设计出一个随机化期望多项式时间算法，以常数因子近似求解最小权支配集问题。

ABSTRACT

Let $F$ be a family of pseudo-disks in the plane, and $P$ be a finite subset of $F$. Consider the hypergraph $H(P,F)$ whose vertices are the pseudo-disks in $P$ and the edges are all subsets of $P$ of the form $\{D \in P \mid D \cap S eq \emptyset\}$, where $S$ is a pseudo-disk in $F$. We give an upper bound of $O(nk^3)$ for the number of edges in $H(P,F)$ of cardinality at most $k$. This generalizes a result of Buzaglo et al. (2013). As an application of our bound, we obtain an algorithm that computes a constant-factor approximation to the smallest _weighted_ dominating set in a collection of pseudo-disks in the plane, in expected polynomial time.

研究动机与目标

• 建立由伪圆盘交集定义的超图中，大小至多为 k 的超边数量的上界。
• 将先前关于点-伪圆盘超图的结果推广至伪圆盘区域的情形。
• 将该上界应用于设计伪圆盘排列中加权支配集问题的高效近似算法。
• 证明此类超图的 VC-维数至多为四，且该上界是紧致的。
• 将结果的应用范围扩展至基集 P 与范围集 F 为不相交伪圆盘族的情形。

提出的方法

• 借鉴 Buzaglo 等人 [4] 关于点-伪圆盘超图的技术，并将其适配于基于区域的交集。
• 利用伪圆盘的排列结构及平面排列中层级的性质，对面数进行有界并推导出结构约束。
• 应用 VC-维数理论，证明 H(P, F) 的 VC-维数至多为 4，且该界是最优的。
• 对伪圆盘排列中浅单元复杂度进行精细化分析，将对 k 的依赖关系从超多项式降低至 O(k³)。
• 将 O(nk³) 的边数上界与 Chan 等人 [5] 关于加权击中集近似框架相结合。
• 将最小权支配集问题约化为超图 H(P, F) 中的加权击中集问题，利用支配集与交集图中击中集之间的等价性。

实验结果

研究问题

• RQ1 由伪圆盘交集定义的超图 H(P, F) 中，大小至多为 k 的超边的最大数量是多少？
• RQ2 此类超图的 VC-维数能否被有界？若能，最紧致的上界是什么？
• RQ3 当基集 P 与范围集 F 为不相交的伪圆盘族时，O(nk³) 的小超边上界是否仍然成立？
• RQ4 该结构上界能否用于设计伪圆盘排列中最小权支配集问题的高效近似算法？
• RQ5 使用伪圆盘而非伪圆时，超图的复杂度如何变化？这一区别为何重要？

主要发现

• 在 H(P, F) 中，大小至多为 k 的超边数量为 O(nk³)，其中 n = |P|，且隐含常数与族 F 无关。
• 超图 H(P, F) 的 VC-维数至多为 4，且该上界是紧致的，通过构造表明 5 个集合可被破碎。
• 该结果推广了先前关于点-伪圆盘超图的工作，因为一个点可被表示为足够小的伪圆盘。
• 该上界对伪圆不成立：构造出 n 个两两相交的圆，其交点处有 O(n²) 个极小圆，当 k=2 时违反了 O(nk³) 上界。
• O(nk³) 的边数上界使得能够设计出一个随机化期望多项式时间算法，以常数因子近似求解伪圆盘集合中的最小权支配集问题。
• Chan 等人 [5] 关于浅单元复杂度的框架被成功应用于超图 H(P, F)，证明了在此设定下加权击中集问题存在常数因子近似解。