[论文解读] On Pulsating Strings in Schrödinger Backgrounds

H. Dimov, M. Radomirov+2 more|arXiv (Cornell University)|Mar 15, 2019

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 22被引用 3

一句话总结

本文研究了五维Schrödinger时空中带有五球面的脉动弦，通过半经典量子化推导出对应于对偶偶极CFT中异常维数的能量修正。作者构建了在Schrödinger部分呈现周期性运动的精确经典弦解，求解了脉动条件下的运动方程，利用椭圆函数和特殊函数获得波函数与能谱，从而在非相对论性设置下对AdS/CFT对偶性提供了定量检验。

ABSTRACT

According to AdS/CFT duality semi-classical strings in the Schrödinger spacetime is conjectured to be a holographic dual to dipole CFT. In this paper we consider pulsating strings in five-dimensional Schrödinger space times five-sphere. We have found classical string solutions pulsating entirely in the Schrödinger part of the background. We quantize the theory semi-classically and obtain the wave function of the problem. We have found the corrections to the energy, which by duality are supposed to give anomalous dimensions of certain operators in the dipole CFT.

研究动机与目标

• 探索五维Schrödinger时空中带有五球面的弦的类经典脉动弦解，作为AdS/CFT对偶性的非相对论性扩展。
• 在Schrödinger背景中的弦态与偶极共形场理论（CFT）中的算符之间建立全息对应关系。
• 对脉动弦实施半经典量子化，以计算能谱的修正。
• 推导系统的波函数，并将能谱修正与对偶规范理论中的异常维数关联起来。

提出的方法

• 求解弦在背景Schrödinger部分脉动时的运动方程，受Virasoro条件约束。
• 应用脉动条件，将系统约化为角坐标与径向变量的常微分方程。
• 使用椭圆函数（如雅可比椭圆正弦）求解径向坐标$\mu$的方程，得到$\sin\mu = \pm \mathrm{sn}(|N|\tau, k)$。
• 利用运动常数方法积分$\theta$-依赖性，导出包含反双曲正切函数与周期性约束的解。
• 从脉动系统的半经典量子化推导波函数。
• 通过AdS/CFT对偶性，将弦侧的能量修正与对偶偶极CFT中的异常维数关联起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 在$\textrm{S}^5 \times \textrm{Sch}_5$几何中，弦完全在Schrödinger部分脉动的类经典解是什么？
• RQ2 如何在Schrödinger时空中的脉动弦上应用半经典量子化以计算能量修正？
• RQ3 脉动弦系统的波函数的显式形式是什么？
• RQ4 弦侧的能量修正如何与对偶偶极CFT中算符的异常维数相匹配？
• RQ5 特殊函数如$\mathrm{sn}(x,k)$与$\mathrm{arctanh}$在描述弦的周期性运动中起什么作用？

主要发现

• 径向坐标$\mu$的解为$\mu(\tau) = \pm \arcsin(\mathrm{sn}(|N|\tau, k))$，其中$k^2 = \frac{(n^3)^2 - (n^2)^2}{4N^2}$，表明其运动由雅可比椭圆函数控制，呈现周期性振荡。
• 当$n^2 = n^3 = 0$时，$\mu(\tau)$的解为$\mu(\tau) = \arccos(C_1\cos(N\tau) + C_2\sin(N\tau))$，周期性要求$C_1^2 + C_2^2 < 1$。
• $\theta$-运动的积分结果为$\theta(\tau) = \frac{D}{N\sqrt{C_1^2 + C_2^2 - 1}} \cdot \mathrm{arctanh}\left( \frac{C_1C_2 + (C_2^2 - 1)\tan(N\tau)}{\sqrt{C_1^2 + C_2^2 - 1}} \right)$，在周期性约束下有效。
• 能量修正通过半经典量子化推导得出，其中$N^2 = \kappa^2 + (n^1)^2\left(\frac{1}{\alpha'^2} - 1\right)$，将弦动力学与对偶CFT联系起来。
• 系统的波函数由$\mu$-坐标中类似薛定谔方程的解构造，势能由$\sin^2\mu$项决定。
• 从弦侧计算出的能量修正被识别为对偶偶极CFT中的异常维数，从而在非相对论性设置下对全息对偶性提供了定量检验。