[论文解读] On purity and applications to coderived and singularity categories

Jan Šťovíček|arXiv (Cornell University)|Dec 4, 2014

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 12被引用 42

一句话总结

本文证明了局部一致的格罗滕迪克范畴的余导范畴是紧生成的，且其紧对象恰好为有限表示对象的有界导范畴。通过模型论技术与纯导范畴的系统研究，作者将克劳泽的黏合结构推广至非诺特情形，证明此类范畴中内射对象的同伦范畴是紧生成的，且与有限表示对象的有界导范畴同构。

ABSTRACT

Given a locally coherent Grothendieck category G, we prove that the homotopy category of complexes of injective objects (also known as the coderived category of G) is compactly generated triangulated. Moreover, the full subcategory of compact objects is none other than D^b(fp G). If G admits a generating set of finitely presentable objects of finite projective dimension, then also the derived category of G is compactly generated and Krause's recollement exists. Our main tools are (a) model theoretic techniques and (b) a systematic study of the pure derived category of an additive finitely accessible category.

研究动机与目标

• 将克劳泽的黏合结构与紧生成性结果从局部诺特情形推广至局部一致格罗滕迪克范畴。
• 证明局部一致格罗滕迪克范畴的余导范畴是紧生成的。
• 将内射对象同伦范畴中的紧对象识别为有限表示对象的有界导范畴。
• 为有限可生成的加法范畴构建纯导范畴的系统理论，作为基础工具。
• 提供格罗滕迪克范畴的导范畴亦为紧生成的条件。

提出的方法

• 利用模型论技术，特别是弱因子分解系统与余挠对，分析精确范畴与阿贝尔模型结构。
• 应用有限可生成范畴中纯性的理论，通过κ-表示的纯子对象构造对象的滤子。
• 构造从有限表示对象的有界导范畴到内射对象同伦范畴的函子，证明其在紧对象上限制为同构。
• 在fp-内射对象的精确范畴中，使用版本的贝尓注入性准则，以小集合的κ-表示fp-内射对象作为测试对象，刻画内射对象。
• 利用存在一个正则基数κ，使得每个对象均可通过κ-表示对象的纯滤子表示，建立可分解性与紧生成性。
• 在非诺特情形下应用三角范畴理论的结果，包括尼曼的良生成三角范畴与克劳泽的黏合结构。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，局部一致格罗滕迪克范畴的余导范畴是紧生成的？
• RQ2 有限表示对象的有界导范畴能否完全嵌入为内射对象同伦范畴中紧对象的全子范畴？
• RQ3 若存在一组有限表示对象的生成集且其具有有限投射维数，克劳泽的黏合结构是否仍成立，即使缺乏诺特性？
• RQ4 纯性与模型结构在刻画余导范畴中紧对象时起何作用？
• RQ5 有限可生成加法范畴的纯导范畴如何作为研究余导范畴与奇点范畴的工具？

主要发现

• 局部一致格罗滕迪克范畴中内射对象的同伦范畴是紧生成的。
• 余导范畴中紧对象的全子范畴与有限表示对象的有界导范畴同构。
• 从有限表示对象的有界导范畴到余导范畴的典范函子，其在紧对象上的限制为同构。
• 若格罗滕迪克范畴存在一组有限表示对象的生成集且其具有有限投射维数，则其导范畴亦为紧生成的。
• 有限可生成加法范畴的纯导范畴具有良好的模型结构，可实现纤维化替换与同伦范畴的构造。
• 在fp-内射对象的精确范畴中，存在一个版本的贝尓准则，使用一个小集合的κ-表示fp-内射对象作为测试对象。