[论文解读] On q-fractional derivatives of Riemann--Liouville and Caputo type

Miomir S. Stanković, Predrag M. Rajković+1 more|ArXiv.org|Sep 2, 2009

Fractional Differential Equations Solutions参考文献 10被引用 23

一句话总结

本文通过引入带有参数下限的 q-积分，提出了 Riemann–Liouville 类型和 Caputo 类型的 q-分数阶导数，使得在任意点设定初始条件成为可能。主要贡献在于建立了这些算子的复合恒等式与半群性质，包括基本关系 $ D_{q,a}^{\beta} I_{q,a}^{\beta}f = f $ 和 $ I_{q,a}^{\beta} D_{q,a}^{\beta}f = f $，在适当条件下成立。

ABSTRACT

Based on the fractional $q$-integral with the parametric lower limit of integration, we define fractional $q$-derivative of Riemann-Liouville and Caputo type. The properties are studied separately as well as relations between them. Also, we discuss properties of compositions of these operators.

研究动机与目标

• 通过为 q-积分引入参数下限，推广 q-分数阶微积分。
• 定义并研究具有任意下限的 Riemann–Liouville 和 Caputo 类型 q-分数阶导数。
• 建立 q-分数阶积分与导数算子的复合性质与半群行为。
• 通过允许非零下限，解决 q-分数阶微分方程中初始条件的问题。
• 将现有 q-微积分框架扩展，以支持具有任意初始点的离散系统中的记忆效应建模。

提出的方法

• 定义带有参数下限 $ a $ 的 q-分数阶积分 $ I_{q,a}^{\beta}f $，推广标准形式 $ I_{q,0}^{\beta}f $。
• 将 Riemann–Liouville 类型的 q-导数 $ D_{q,a}^{\beta}f $ 定义为 $ I_{q,a}^{1-\beta}f $ 的 $ \beta $ 阶 q-导数。
• 通过 $ I_{q,a}^{1-\beta}f $ 的 q-导数定义 Caputo 类型的 q-导数 $ {}_{\bullet}D_{q,a}^{\beta}f $，初始条件设定在 $ a $。
• 利用 $ q $-Pochhammer 符号、$ q $-伽马函数和 $ q $-超几何函数表达算子恒等式。
• 通过涉及 $ S(\beta,\beta,\nu) $ 和 $ q $-二项式系数的恒等式证明复合定理。
• 通过参数下限的 q-导数与积分算子的递归应用，建立半群性质。

实验结果

研究问题

• RQ1 当积分下限为变量参数 $ a $ 时，如何一致地定义 Riemann–Liouville 和 Caputo 类型的 q-分数阶导数？
• RQ2 带有参数下限的 q-分数阶积分与导数之间具有何种复合性质？
• RQ3 在与 q-积分复合时，Riemann–Liouville 与 Caputo 类型的 q-导数之间有何关系？
• RQ4 当下的限 $ a $ 不为零时，半群性质 $ D_{q,a}^{\beta} I_{q,a}^{\beta}f = f $ 是否仍能保持？
• RQ5 当阶数 $ \alpha $ 为整数时，复合恒等式需要进行何种修改？

主要发现

• 在适当的函数空间中，恒等式 $ D_{q,a}^{\beta} I_{q,a}^{\beta}f = f $ 成立，将经典半群性质推广至参数下限。
• 复合恒等式 $ I_{q,a}^{\beta} D_{q,a}^{\beta}f = f $ 对非整数 $ \beta $ 成立，但当 $ \beta \in \mathbb{N} $ 时失效，此时需引入修正项。
• 当整数 $ \alpha = n $ 时，恒等式 $ I_{q,a}^{\beta} D_{q}^{n}f = D_{q,a}^{n-\beta}f - \sum_{k=0}^{n-1} \frac{(D_{q}^{k}f)(a)}{\Gamma_{q}(\beta - n + k + 1)} x^{\beta - n + k}(a/x;q)_{\beta - n + k} $ 成立。
• 对非整数 $ \alpha $，复合恒等式 $ {}_{\bullet}D_{q,a}^{\alpha} I_{q,a}^{\beta}f = D_{q,a}^{\alpha - \beta}f + \sum_{k=0}^{\lceil \alpha - \beta \rceil - 1} \frac{(D_{q}^{k}f)(a)}{\Gamma_{q}(k - \alpha + \beta + 1)} x^{k - \alpha + \beta}(a/x;q)_{k - \alpha + \beta} $ 成立。
• 当 $ a \leq c < x $ 时，恒等式 $ I_{q,c}^{\alpha} D_{q,a}^{\alpha}f = I_{q,c}^{\alpha - \lceil \alpha \rceil + 1} D_{q,a}^{\alpha - \lceil \alpha \rceil + 1}f - \sum_{k=1}^{\lceil \alpha \rceil - 1} \frac{(D_{q,a}^{\alpha - k}f)(c)}{\Gamma_{q}(\alpha - k + 1)} x^{\alpha - k}(c/x;q)_{\alpha - k} $ 成立，将平移性质推广至参数下限。