[论文解读] On q-statistical approximation of wavelets aided Kantorovich q-Baskakov operators

M. Mursaleen, P. Lamichhane+2 more|arXiv (Cornell University)|May 16, 2023

Approximation Theory and Sequence Spaces被引用 4

一句话总结

本论文利用 Bohman-Korovkin 型定理与空间 $B_{\rho\alpha}(\mathbb{R}_+)$ 上的加权模光滑度 $ω_{\rho_{\alpha}}$，研究了小波辅助 Kantorovich q-Baskakov 算子的加权统计逼近性质。通过 Lipschitz 型最大函数建立了统计收敛速率，表明在加权范数下，这些算子具有统计收敛性，且收敛速度依赖于 $q$-整数与光滑度参数。

ABSTRACT

The aim of this research is to examine various statistical approximation properties with respect to Kantorovich extit{ ext{ exthtq}}-Baskakov operators using wavelets. We discuss and investigate a weighted statistical approximation employing a Bohman-Korovkin type theorem as well as a statistical rate of convergence applying a weighted modulus of smoothness $ω_{ρ_α}$ correlated with the space $B_{ρα}(\mathbb{R_{+}})$ and Lipschitz type maximal functions. Both topics are covered in the article.

研究动机与目标

• 分析小波辅助 Kantorovich q-Baskakov 算子在加权统计逼近下的行为。
• 利用空间 $B_{\rho\alpha}(\mathbb{R}_+)$ 上的加权模光滑度 $\omega_{\rho_{\alpha}}$ 建立统计收敛速率。
• 将经典逼近结果推广至基于小波的局部重构的 $q$-类比设定。
• 通过数值例子与图形分析证明收敛性。
• 表明统计收敛速率在矩方面与经典 q-Baskakov 算子一致，但通过小波定位实现性能提升。

提出的方法

• 在空间 $B_{\rho\alpha}(\mathbb{R}_+)$ 中利用 Bohman-Korovkin 型定理进行加权统计逼近。
• 采用加权模光滑度 $\omega_{\rho_{\alpha}}$ 量化收敛速率。
• 应用 Lipschitz 型最大函数以界定统计收敛下的逼近误差。
• 推导算子 $\mathcal{S}_{n,s,q}(x)$ 的矩估计，包括 $\mathcal{S}_{n,s,q}(\mu_{x,\alpha}^2; x)$ 与 $\mathcal{S}_{n,s,q}(\phi_x^2; x)$。
• 利用 $q$-整数与 $q$-微积分定义具有小波支持的 Kantorovich 型 $q$-Baskakov 算子。
• 通过 $st$-极限使用统计收敛分析当 $n \to \infty$ 时的渐近行为。

Figure 1. convergence of the operator towards the function $\text{}(x)=(x-\frac{1}{5})(x-\frac{4}{9})$

实验结果

研究问题

• RQ1 小波辅助 Kantorovich q-Baskakov 算子如何在 $B_{\rho\alpha}(\mathbb{R}_+)$ 上实现加权统计逼近？
• RQ2 这些算子的统计收敛速率是多少？其与光滑度模 $\omega_{\rho_{\alpha}}$ 的关系如何？
• RQ3 $q$-微积分下，算子的矩如何影响收敛行为？
• RQ4 能否通过 $q$-整数与小波定位实现统计收敛？
• RQ5 在光滑度与 $q$-参数依赖性方面，其收敛速率与经典 $q$-Baskakov 算子相比如何？

主要发现

• 当 $n \to \infty$ 时，算子 $\mathcal{S}_{n,s,q}(x)$ 在加权范数 $\|\cdot\|_{\rho_{\alpha}}$ 下统计收敛于 $f(x)$。
• 统计收敛速率受 $3C_{\alpha}\omega_{\rho_{\alpha}}(f; \delta_n)$ 限制，其中 $\delta_n = \sqrt{1/[n]_q}$。
• 序列 $\delta_n$ 是统计零序列，意味着 $st$-$\lim_{n \to \infty} \omega_{\rho_{\alpha}}(f; \delta_n) = 0$。
• 矩估计结果为 $\mathcal{S}_{n,s,q}(\mu_{x,\alpha}^2; x) \leq \frac{1}{[n]_q} \|e_2\|_{\rho_{\alpha}} + \frac{3}{[n]_q} \|e_2\|_{\rho_{\alpha}}$。
• 图形示例验证了在 $n = 10, 30, 60, 80$ 时，$f(x) = (x-1/5)(x-4/9)$、$f(x) = x^2 - 1$ 与 $f(x) = x^2 - 4x + 3$ 的收敛性。
• 逼近行为在矩方面与经典 $q$-Baskakov 算子一致，但通过小波定位获得局部优化。

Figure 2. convergence of the operator towards the function $\text{}(x)=x^{2}-1$