[论文解读] On Quadratic Embedding Constants of Star Product Graphs

Wojciech Młotkowski, Nobuaki Obata|arXiv (Cornell University)|Feb 4, 2018

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 4被引用 3

一句话总结

本文推导出星积图 $G = G_1 \star \cdots \star G_r$ 的二次嵌入常数（QEC）的隐式公式，建立了其分量图的 QEC 与特定代数方程解之间的联系。关键结果为 $\mathrm{QEC}(\mathbb{Z}) = \mathrm{QEC}(\mathbb{Z}_+) = -\frac{1}{2}$，该结果通过有限路径图 $P_n$ 的极限论证获得，且分析中使用的组合恒等式引出一个新的整数序列。

ABSTRACT

A connected graph $G$ is of QE class if it admits a quadratic embedding in a Hilbert space, or equivalently if the distance matrix is conditionally negative definite, or equivalently if the quadratic embedding constant $\mathrm{QEC}(G)$ is non-positive. For a finite star product of (finite or infinite) graphs $G=G_1\star\dotsb \star G_r$ an estimate of $\mathrm{QEC}(G)$ is obtained after a detailed analysis of the minimal solution of a certain algebraic equation. For the path graph $P_n$ an implicit formula for $\mathrm{QEC}(P_n)$ is derived, and by limit argument $\mathrm{QEC}(\mathbb{Z})=\mathrm{QEC}(\mathbb{Z}_+)=-1/2$ is shown. During the discussion a new integer sequence is found.

研究动机与目标

• 推导星积图 $G_1 \star \cdots \star G_r$ 的二次嵌入常数（QEC）的定量估计。
• 分析由分量图导出的参数所涉及的代数方程的最小解。
• 为有限路径图 $P_n$ 推导 $\mathrm{QEC}(P_n)$ 的隐式公式。
• 通过极限过程计算无限路径图 $\mathbb{Z}_+$ 和 $\mathbb{Z}$ 的 QEC。

提出的方法

• 分析代数方程 $\sum_{j=1}^{r}\frac{d_j}{a_j d_j + a_j - \lambda} = \frac{1}{\lambda}$ 的最小解，其中 $a_j$ 和 $d_j$ 是从分量图导出的参数。
• 将二次型 $\phi(x_0, \mathbf{x}_1, \dots, \mathbf{x}_r)$ 在约束下的条件极小值与代数方程的最小解联系起来。
• 运用谱论与变分技巧，将星积图的 QEC 与代数方程的解联系起来。
• 对有限路径图 $P_n$ 应用极限论证，以计算 $\mathrm{QEC}(\mathbb{Z}_+)$ 和 $\mathrm{QEC}(\mathbb{Z})$。
• 推导涉及 $\min\{i,j\}$、$i(n-i)$ 和交错符号的组合恒等式，以估计 $\mathrm{QEC}(P_n)$。
• 从组合和 $\sum_{i,j=1}^n \min\{i,j\} \, i(n-j)j(n-j)(-1)^{i+j}$ 中识别出一个新的整数序列 $a_n$，并证明其为 $\lceil n^2/2 \rceil$ 与自身的卷积。

实验结果

研究问题

• RQ1 星积图 $G_1 \star \cdots \star G_r$ 的二次嵌入常数（QEC）如何用其分量图的 QEC 表示？
• RQ2 能否为有限路径图 $P_n$ 推导出 $\mathrm{QEC}(P_n)$ 的隐式公式？
• RQ3 单边无限路径 $\mathbb{Z}_+$ 和双边无限路径 $\mathbb{Z}$ 的 QEC 值是多少？
• RQ4 用于估计 $\mathrm{QEC}(P_n)$ 的组合恒等式与已知整数序列有何关联？
• RQ5 在路径图的 QEC 估计的组合结构中，是否会出现新的整数序列？

主要发现

• 无限路径图 $\mathbb{Z}_+$ 的 QEC 为 $\mathrm{QEC}(\mathbb{Z}_+) = -\frac{1}{2}$，其作为 $\mathrm{QEC}(P_n)$ 在 $n \to \infty$ 时的极限获得。
• 双边无限路径 $\mathbb{Z}$ 的 QEC 为 $\mathrm{QEC}(\mathbb{Z}) = -\frac{1}{2}$，通过相同的极限论证确立。
• 利用代数方程 $\sum_{j=1}^{r}\frac{d_j}{a_j d_j + a_j - \lambda} = \frac{1}{\lambda}$ 的最小解，推导出 $\mathrm{QEC}(P_n)$ 的隐式公式。
• 一个新的整数序列 $a_n = \frac{n}{240}\{2n^4 + 20n^2 - 7 + 15(-1)^n\}$ 从 $P_n$ 的 QEC 估计中的组合和中产生。
• 序列 $a_n$ 被证明是序列 $b_n = \lceil n^2/2 \rceil$ 与自身的卷积，其生成函数为 $\sum_{n=0}^\infty a_n z^n = \frac{z^2(1+z^2)^2}{(1+z)^2(1-z)^6}$。
• 证明了在约束下二次型的条件极小值与关键代数方程的最小解一致，从而为星积图的 QEC 提供了变分表征。