[论文解读] On Quantum and Classical Error Control Codes: Constructions and Applications

Salah A. Aly|ArXiv.org|Dec 30, 2008

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 171被引用 7

一句话总结

本文利用有限域上的经典码，提出了量子误差控制码的新型构造方法，包括量子分组码、子系统码、卷积码、LDPC码和非对称码。通过CSS和子系统构造，建立了新的非二元量子BCH码族、最优MDS子系统码族以及非对称量子码族，关键成果包括量子卷积码的广义Singleton界，以及子系统码的传播规则。

ABSTRACT

It is conjectured that quantum computers are able to solve certain problems more quickly than any deterministic or probabilistic computer. A quantum computer exploits the rules of quantum mechanics to speed up computations. However, it is a formidable task to build a quantum computer, since the quantum mechanical systems storing the information unavoidably interact with their environment. Therefore, one has to mitigate the resulting noise and decoherence effects to avoid computational errors. In this work, I study various aspects of quantum error control codes -- the key component of fault-tolerant quantum information processing. I present the fundamental theory and necessary background of quantum codes and construct many families of quantum block and convolutional codes over finite fields, in addition to families of subsystem codes over symmetric and asymmetric channels. Particularly, many families of quantum BCH, RS, duadic, and convolutional codes are constructed over finite fields. Families of subsystem codes and a class of optimal MDS subsystem codes are derived over asymmetric and symmetric quantum channels. In addition, propagation rules and tables of upper bounds on subsystem code parameters are established. Classes of quantum and classical LDPC codes based on finite geometries and Latin squares are constructed.

研究动机与目标

• 开发系统化的方法，从有限域上的经典码构造量子误差控制码。
• 通过设计对退相干和噪声具有鲁棒性的码，应对容错量子计算的挑战。
• 将量子编码理论扩展至比特翻转与相位移错误发生概率不同的非对称信道。
• 为子系统码建立理论界和传播规则，以实现更好的码参数优化。
• 提供统一框架，从分组码（特别是BCH码和RS码）导出非灾难性量子卷积码。

提出的方法

• 利用稳定子形式，从$\mathbb{F}_q$和$\mathbb{F}_{q^2}$上的自正交经典码推导量子码。
• 应用欧几里得对偶和埃尔米特对偶，通过确定经典BCH码为对偶包含的条件，构造量子BCH码。
• 利用射影几何和里德-穆勒码构造参数更优的量子码，包括删减码。
• 通过经典循环码和RS码引入子系统码构造，实现逻辑量子比特与规范量子比特维数之间的权衡。
• 提出一种通用框架，利用里德-穆勒码的拟循环子码，从分组码导出量子卷积码。
• 提出基于CSS的非对称量子码构造方法，使用两个经典循环码$C_1$和$C_2$，满足$C_2^\perp \subseteq C_1$，实现不等错误保护。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，经典BCH码在欧几里得或埃尔米特对偶下为自正交，从而支持量子码的构造？
• RQ2 如何在不依赖自正交性的情况下，系统地从经典码构造子系统码？
• RQ3 量子卷积码的广义Singleton界是什么？它如何约束码参数？
• RQ4 能否从两个具有不同错误概率的经典循环码导出非对称量子误差纠正码？
• RQ5 子系统码中的维数权衡由何种传播规则控制？它们如何影响码的最优性？

主要发现

• 利用稳定子形式构造了两族非二元量子BCH码，其参数由$\mathbb{F}_q$上的经典BCH码导出。
• 推导出一族最优MDS子系统码，达到量子Singleton界，参数为$[[12,1,3,5]]_q$，定义于$\mathbb{F}_{13}$上。
• 建立了量子卷积码的广义Singleton界，为码参数提供了理论极限。
• 证明了传播规则：对于一个$[[n,k,r,d]]_q$子系统码，若$k>1$，则存在一个$[[n,k-1,r+1,\geq d]]_q$码，支持维数权衡。
• 利用两个经典循环码$C_1$和$C_2$（满足$C_2^\perp \subseteq C_1$）构造非对称量子码，得到如$[[12,1,3,5]]$等具有不等错误保护能力的码。
• 从有限几何、拉丁方阵和分圆陪集导出一族量子LDPC码，支持高效的迭代译码。