[论文解读] On Quantum Cellular Automata

Alexander Yu. Vlasov|ArXiv.org|Jun 17, 2004

Quantum-Dot Cellular Automata参考文献 12被引用 6

一句话总结

本文提出了一种使用'历史'方案对经典细胞自动机进行量化的方法，该方案将时间演化嵌入系统的状态空间中，使得不可逆和可逆的经典CA均可通过局部转移规则映射为幺正量子操作。通过在希尔伯特空间中表示状态并采用张量积结构，该方法将量子细胞自动机推广至超越先前$C^*$-代数模型的范围，其应用涵盖量子行走、格点气体以及'量子机器人'系统，且在双粒子演化中生成了纠缠的贝尔类态。

ABSTRACT

In recent work [quant-ph/0405174] by Schumacher and Werner was discussed an abstract algebraic approach to a model of reversible quantum cellular automata (CA) on a lattice. It was used special model of CA based on partitioning scheme and so there is a question about quantum CA derived from more general, standard model of classical CA. In present work is considered an approach to definition of a scheme with "history", valid for quantization both irreversible and reversible classical CA directly using local transition rules. It is used language of vectors in Hilbert spaces instead of C*-algebras, but results may be compared in some cases. Finally, the quantum lattice gases, quantum walk and "bots" are also discussed briefly.

研究动机与目标

• 开发一种通用的量子细胞自动机模型，其超越$C^*$-代数形式化方法，并适用于不可逆和可逆的经典CA。
• 通过局部转移规则和'历史'维度的形式化量化过程，将时间演化嵌入状态空间中。
• 在量子格点气体、量子行走和'量子机器人'系统上展示该方法，作为物理实现的范例。
• 证明由此产生的量子自动机在多粒子系统中可生成纠缠的贝尔类态，验证该模型的物理相关性。

提出的方法

• 引入'历史'方案，其中每个单元的状态同时包含当前和前一时间步的状态，以实现可逆动力学。
• 使用张量积希尔伯特空间结构$\mathcal{H}_\bullet \otimes \mathcal{H}_\bullet$来表示相邻时间层的联合状态。
• 应用标准的量子函数评估技术，将不可逆的经典转移转换为可逆的幺正映射。
• 将全局幺正演化定义为局部可逆映射$\widetilde{F}_i$的复合，每个映射作用于一个单元及其在时间层之间的邻域。
• 在量子行走和格点气体背景下，采用直和结构$\mathcal{H}_\bullet \oplus \mathcal{H}_\bullet$作为替代模型。
• 推导出局部转移规则的显式矩阵表示，例如2D量子比特系统中的式(50)，其编码了受控相位翻转的动力学。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何使用标准量子线路工具一致地对不可逆经典细胞自动机进行量化？
• RQ2 在实现不可逆和可逆CA的幺正演化中，'历史'维度起到了什么作用？
• RQ3 所提出的基于希尔伯特空间的模型能否重现已知的量子系统，如量子行走和量子格点气体？
• RQ4 在此框架下，局部幺正转移如何在多粒子系统中导致非平凡纠缠？
• RQ5 该方法与先前工作中使用的更为抽象的$C^*$-代数形式化方法之间存在何种关系？

主要发现

• 该模型成功通过可逆的'历史'构造将不可逆经典CA映射为幺正量子操作，同时保持了局部转移规则的结构。
• 推导出了局部转移的显式矩阵表示，例如式(50)中的6×6矩阵，其对双量子比特系统编码了相位纠缠的动力学。
• 对于两个非相同量子机器人的系统，演化产生了一个归一化的贝尔类纠缠态：$\frac{1}{2}( |{\updownarrow},\emptyset\rangle + |\emptyset,{\updownarrow}\rangle + |{\downarrow},{\uparrow}\rangle - |{\uparrow},{\downarrow}\rangle )$，证实了非平凡纠缠的存在。
• 该框架通过在希尔伯特空间中使用向量态，推广了先前的$C^*$-代数模型，避免了张量积空间中态定义的问题。
• 该方法适用于量子行走和量子格点气体，如通过同时使用张量积和直和希尔伯特空间结构的量子机器人模型所展示的。
• 该模型表明，相同的局部规则可因底层希尔伯特空间结构的不同而产生不同的全局行为，凸显了态空间选择的重要性。