[论文解读] On Quantum Communication Channels with Constrained Inputs

A. S. Holevo|ArXiv.org|May 30, 1997

Quantum Information and Cryptography参考文献 11被引用 16

一句话总结

该论文通过证明容量等于在满足约束条件的所有输入分布上量子互信息（熵界）的上确界，确立了能量约束下量子通信信道——特别是能量约束的量子高斯信道——的容量。论文推导了纯态高斯信道的可靠性函数（错误指数）的显式公式，显示其与准经典光子信道在渐近意义上等价，但错误指数行为存在差异。

ABSTRACT

The purpose of this work is to extend the result of previous papers quant-ph/9611023, quant-ph/9703013 to quantum channels with additive constraints onto the input signal, by showing that the capacity of such channel is equal to the supremum of the entropy bound with respect to all apriori distributions satisfying the constraint. We also make an extension to channels with continuous alphabet. As an application we prove the formula for the capacity of the quantum Gaussian channel with constrained energy of the signal, establishing the asymptotic equivalence of this channel to the semiclassical photon channel. We also study the lower bounds for the reliability function of the pure-state Gaussian channel.

研究动机与目标

• 将量子信道容量理论扩展至输入信号具有加性约束（如能量限制）的情形。
• 证明此类约束信道的容量等于所有有效输入分布上熵界的上确界。
• 分析在能量约束下纯态高斯信道的可靠性函数（错误指数）。
• 证明量子高斯信道与准经典光子信道在容量上渐近等价，尽管其错误行为存在差异。

提出的方法

• 使用冯·诺依曼熵和量子互信息定义约束输入分布的熵界。
• 采用修改后的分布实施随机编码方法，证明在输入约束下容量界的可实现性。
• 通过在辅助参数上进行优化，利用伽拉格类型界（特别是删失界与随机编码界）推导可靠性函数。
• 计算最优输入分布下输出态的矩生成函数，以在某些情况下解析评估边界。
• 利用相干态表示和高斯积分恒等式，评估连续字母表情况下密度算符幂的迹。
• 对参数 s 和 p 进行解析与数值优化，以推导可靠性函数。

实验结果

研究问题

• RQ1 当输入信号能量受约束时，量子高斯信道的容量是多少？
• RQ2 纯态高斯信道的可靠性函数（错误指数）与经典高斯信道相比如何？
• RQ3 尽管错误行为存在差异，量子高斯信道是否在容量上与准经典光子信道渐近等价？
• RQ4 在何种条件下，熵界可被最大化以在输入约束下得到信道容量？
• RQ5 删失界与随机编码界能否在纯态高斯信道上进行解析评估？

主要发现

• 能量约束的量子高斯信道容量为 $ C = (E+1)\log(E+1) - E\log E $，与准经典光子信道容量一致。
• 纯态高斯信道的可靠性函数 $ E_{ex}(R) $ 被显式推导，并显示在低速率下大于 $ E_r(R) $，表明错误衰减更优。
• 当速率 $ R < \frac{\partial}{\partial s}\mu(\pi,1,p(1,E)) $ 时，删失界中的最优 $ s $ 为 $ s = E / \sqrt{e^{2R} - e^R} $，此时 $ E_{ex}(R) = 2E(1 - \sqrt{1 - e^{-R}}) $。
• 可靠性函数 $ E_r(R) $ 由方程 (40) 隐式给出，且在低速率区域 $ E_{ex}(R) > E_r(R) $。
• 尽管容量相同，纯态高斯信道与准经典光子信道的错误指数行为不同：后者在 $ R < C $ 时错误概率为零。
• 矩生成函数 $ \mu(\pi,s,p) $ 的最大化导致方程 (44) 在 $ s=0,1 $ 时可解，但一般情况下需数值求解。