[论文解读] On Quantum Complexity

Mohsen Alishahiha|arXiv (Cornell University)|Sep 29, 2022

Quantum many-body systems被引用 4

一句话总结

本文提出了一种关于量子算符在能量本征态基下矩阵元的一般性条件，该条件通过要求算符矩阵元中存在双重极点结构，导致期望值在热化后仍出现时间线性增长。关键结果是，该条件能重现全息理论与Krylov复杂度中的线性增长行为，且在希尔伯特空间维度D量级的时间达到饱和。

ABSTRACT

The ETH ansatz for matrix elements of a given operator in the energy eigenstate basis results in a notion of thermalization for a chaotic system. In this context for a certain quantity - to be found for a given model - one may impose a particular condition on its matrix elements in the energy eigenstate basis so that the corresponding quantity exhibit linear growth at late times. The condition is to do with a possible pole structure the corresponding matrix elements may have. Based on the general expectation of complexity one may want to think of this quantity as a possible candidate for the quantum complexity. We note, however, that for the explicit examples we have considered in this paper, there are infinitely many quantities exhibiting similar behavior.

研究动机与目标

• 识别算符在能量本征态基下矩阵元的一般条件，该条件可导致热化后时间演化期望值的线性增长。
• 将该条件与量子复杂度的概念联系起来，尤其关注具有有限熵的混沌系统。
• 证明所提出的条件能重现全息复杂度与Krylov复杂度的已知行为，包括线性增长与饱和。
• 阐明A函数（能量基下的矩阵元）及其极点结构在决定量子可观测量晚近动力学中的作用。
• 建立ETH假设与混沌系统中通过普遍相关性结构涌现复杂度增长之间的联系。

提出的方法

• 定义一个量子对象 $\mathcal{A}_{\mathcal{O}}(\beta,t)$，即时间演化算符 $\mathcal{O}$ 在逆温 $\beta$ 的密度矩阵下的热期望值。
• 将 $\mathcal{A}_{\mathcal{O}}(\beta,t)$ 表示为能量本征态矩阵元 $A(E_1,E_2) = \langle E_1|\mathcal{O}|E_2\rangle$ 与态密度 $\rho_\psi(E_1,E_2)$ 的函数。
• 在 $A(E_1,E_2)$ 上施加双重极点结构，具体为 $A \sim 1/(E_1 - E_2)^2$，以在关联函数的非连通部分中产生时间线性依赖。
• 使用正弦核形式的连通关联函数 $\rho_c(\varepsilon,\omega) \approx -\sin^2(D\omega\rho(\varepsilon))/(D\omega)^2$ 来建模混沌系统中的短程相关性。
• 证明非连通部分在晚近时间（$t \ll D$）导致线性增长，而连通部分由于 $\omega \ll 1$ 区域的作用，在 $t \sim D$ 时引起饱和。
• 证明当 $\mathcal{O}$ 为Krylov基的标记算符时，Krylov复杂度框架成为特例，此时Lanczos系数趋于常数，意味着出现双重极点结构。

实验结果

研究问题

• RQ1 算符在能量本征态基下的矩阵元满足何种条件，可导致其时间演化期望值在晚近时间出现线性增长？
• RQ2 算符矩阵元中的双重极点结构如何与线性量子复杂度增长的出现相关联？
• RQ3 能否从混沌系统中普遍的随机矩阵理论相关性推导出复杂度在 $t \sim D$（希尔伯特空间维度）时的饱和？
• RQ4 在何种意义上，所提出的条件能重现Krylov复杂度的已知行为，特别是线性增长阶段？
• RQ5 当系统已处于热平衡时，ETH假设如何与复杂度的晚近行为相关联？

主要发现

• 算符 $\mathcal{O}$ 的矩阵元 $A(E_1,E_2)$ 中存在双重极点结构——具体为 $A \sim 1/(E_1 - E_2)^2$——可导致其期望值 $\mathcal{A}_{\mathcal{O}}(\beta,t)$ 在晚近时间出现线性增长。
• 线性增长阶段出现在 $t \ll D$ 时，其中 $D = e^S$ 为希尔伯特空间维度，该阶段由密度-密度关联的非连通部分主导。
• 复杂度的饱和发生在 $t \sim D$，由连通关联项驱动，该关联项通过普遍的正弦核 $\rho_c(\varepsilon,\omega) \approx -\sin^2(D\omega\rho(\varepsilon))/(D\omega)^2$ 建模。
• 饱和机制与A函数在极晚近时间的ETH类似行为一致，此时仅非连通部分即可充分描述常数的晚近值。
• 所提出的框架在 $\mathcal{O}$ 为Krylov基的标记算符时，能重现Krylov复杂度，此时双重极点结构源于Lanczos系数的饱和。
• 完整表达式 $\mathcal{A}_{\mathcal{O}}(\beta,t)$ 表明，在晚近时间，当 $\omega \sim 1/t \ll 1$ 时，$1/\omega^2$ 项占主导，产生线性增长；而正弦核项在 $t \sim D$ 时抑制积分，导致饱和。