[论文解读] On quantum groups associated to a pair of preregular forms

Alexandru Chirvăsitu, Chelsea Walton+1 more|arXiv (Cornell University)|May 20, 2016

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 26被引用 4

一句话总结

本文引入了一个通用量子群 $χ(\mathsf{e},\mathsf{f})$，它通过双对偶向量空间上的预正则形式 $\mathsf{e}$ 和 $\mathsf{f}$，共acts 于一对 $N$-Koszul Artin-Schelter 正则代数。该构造推广了 Bichon 和 Dubois-Violette 的先前工作，恢复了已知的量子群（例如 Artin-Schelter-Tate、Takeuchi、Mrozinski），并提供了对任意量子行列式之代数（包括 3D 和 4D Sklyanin 代数及 Yang-Mills 代数）具有普遍共作用的显式 Hopf 代数表示。

ABSTRACT

We define the universal quantum group $\mathcal{H}$ that preserves a pair of Hopf comodule maps, whose underlying vector space maps are preregular forms defined on dual vector spaces. This generalizes the construction of Bichon and Dubois-Violette (2013), where the target of these comodule maps are the ground field. We also recover the quantum groups introduced by Dubois-Violette and Launer (1990), by Takeuchi (1990), by Artin, Schelter, and Tate (1991), and by Mrozinski (2014), via our construction. As a consequence, we obtain an explicit presentation of a universal quantum group that coacts simultaneously on a pair of $N$-Koszul Artin-Schelter regular algebras with arbitrary quantum determinant.

研究动机与目标

• 构造一个通用量子群，使其对任意同调余行列式的 $N$-Koszul Artin-Schelter 正则代数对实现共作用。
• 通过将余模映射的目标从基域扩展到对偶向量空间，推广 Bichon 和 Dubois-Violette 的构造。
• 在单一框架内统一并恢复已知量子群（如 Dubois-Violette-Launer、Artin-Schelter-Tate、Takeuchi 和 Mrozinski 的量子群）。
• 通过生成元与关系，提供通用量子群 $\mathcal{H}(\mathsf{e},\mathsf{f})$ 的显式有限表示。
• 建立量子群 $\mathcal{H}(\mathsf{e},\mathsf{f})$ 对具有任意量子行列式的超势能代数 $A(\mathsf{e},N)$ 和 $A(\mathsf{f},N)$ 实现普遍共作用。

提出的方法

• 将通用量子群 $\mathcal{H}(\mathsf{e},\mathsf{f})$ 定义为保持从 $V^{\otimes m}$ 和 $V^{*\otimes m}$ 到一维余模的右和左 Hopf 余模映射的 Hopf 商代数，其基础形式为 $\mathsf{e}$ 和 $\mathsf{f}$。
• 利用对偶空间 $V$ 和 $V^*$ 上的预正则 $m$-线性形式 $\mathsf{e}$ 和 $\mathsf{f}$，通过生成元与关系构造该量子群。
• 将 $N$-Koszul AS-正则代数实现为与 $\mathsf{e}$ 和 $\mathsf{f}$ 对偶的扭曲超势能对应的超势能代数 $A(\mathsf{e},N)$ 和 $A(\mathsf{f},N)$。
• 将 $\mathcal{H}(\mathsf{e},\mathsf{f})$ 构造为与形式对 $\mathsf{e}, \mathsf{f}$ 相关的双代数的上包络，确保与共作用结构相容。
• 证明 $\mathcal{H}(\mathsf{e},\mathsf{f})$ 具有有限表示，包含 $2n^2 + 2$ 个生成元和有限条关系。
• 验证 $\mathcal{H}(\mathsf{e},\mathsf{f})$ 对 $A(\mathsf{e},N)$ 和 $A(\mathsf{f},N)$ 实现普遍共作用，保持其同调与环论性质。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否构造一个通用量子群，使其同时对两个 $N$-Koszul Artin-Schelter 正则代数实现共作用，并保持其同调余行列式？
• RQ2 如何将 Bichon 和 Dubois-Violette 的构造从目标为基域的余模映射推广到目标为对偶向量空间的余模映射？
• RQ3 哪些已知量子群（如 Artin-Schelter-Tate、Takeuchi 或 Mrozinski 的）可作为该推广构造的特例被恢复？
• RQ4 对于一对预正则形式 $\mathsf{e}, \mathsf{f}$，通用量子群 $\mathcal{H}(\mathsf{e},\mathsf{f})$ 的显式表示（以生成元与关系表示）是什么？
• RQ5 该框架能否应用于高维 AS-正则代数（如 3D 和 4D Sklyanin 代数及 Yang-Mills 代数）？若可，所得到的量子群是什么？

主要发现

• 通用量子群 $\mathcal{H}(\mathsf{e},\mathsf{f})$ 以 $2n^2 + 2$ 个生成元和有限条关系实现显式表示，推广了先前的构造。
• 该构造将 Dubois-Violette 和 Launer (1990)、Artin、Schelter 和 Tate (1991)、Takeuchi (1990) 以及 Mrozinski (2014) 的量子群作为特例恢复。
• 三维 Sklyanin 代数 $Skly_3(\alpha,\beta,\gamma)$ 同构于超势能代数 $A(\mathsf{s}_{\alpha\beta\gamma},2)$，其量子群为 $\mathcal{H}(\mathsf{s}_{\alpha\beta\gamma}, \mathsf{s}_{\alpha\beta\gamma})$。
• 四维 Sklyanin 代数 $Skly_4(\alpha,\beta,\gamma)$ 同构于 $A(\mathsf{s}_{\alpha\beta\gamma},2)$，其量子群为 $\mathcal{H}(\mathsf{s}_{\alpha\beta\gamma}, \mathsf{s}_{\alpha\beta\gamma})$。
• Yang-Mills 代数 $\mathcal{YM}(\mathbb{G})$ 同构于超势能代数 $A(\mathsf{g},3)$，其量子群为 $\mathcal{H}(\mathsf{g}', \mathsf{g})$，其中 $\mathsf{g}$ 是由度量 $\mathbb{G}$ 定义的关联多线性形式。