[论文解读] On quantum groups associated to non-Noetherian regular algebras of dimension 2

Chelsea Walton, Xingting Wang|arXiv (Cornell University)|Mar 31, 2015

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 35被引用 10

一句话总结

本文研究作用于非诺特性 Artin-Schelter 正则代数（全局维数为2）$A(n,\mathbb{E})$ 上的量子群，并证明其上同调性质与环论性质与余模代数的性质一致。关键结果为：当上同调余行列式平凡时，其普遍量子线性群 $\mathcal{O}_A(SL)$ 为 Artin-Schelter 正则且为全局维数3的斜 Calabi-Yau 代数；当余行列式为中央元时，其为诺特性且具有有限 Gelfand-Kirillov 维数当且仅当 $n=2$。

ABSTRACT

We investigate homological and ring-theoretic properties of universal quantum linear groups that coact on Artin-Schelter regular algebras A(n) of global dimension 2, especially with central homological codeterminant (or central quantum determinant). As classified by Zhang, the algebras A(n) are connected \N-graded algebras that are finitely generated by n indeterminants of degree 1, subject to one quadratic relation. In the case when the homological codeterminant of the coaction is trivial, we show that the quantum group of interest, defined independently by Manin and by Dubois-Violette and Launer, is Artin-Schelter regular of global dimension 3 and also skew Calabi-Yau (homologically smooth of dimension 3). For central homological codeterminant, we verify that the quantum groups are Noetherian and have finite Gelfand-Kirillov dimension precisely when the corresponding comodule algebra A(n) satisfies these properties, that is, if and only if n=2. We have similar results for arbitrary homological codeterminant if we require that the quantum groups are involutory. We also establish conditions when Hopf quotients of these quantum groups, that also coact on A(n), are cocommutative.

研究动机与目标

• 验证关于作用于 Artin-Schelter 正则代数的量子群继承其上同调与环论性质的猜想。
• 分析作用于非诺特性 AS 正则代数（全局维数为2）的普遍量子线性群的结构。
• 确定这些量子群为诺特性、具有有限 Gelfand-Kirillov 维数或余交换的条件。
• 建立代数的 Nakayama 性质与量子群余交换性的对应关系。

提出的方法

• 使用 Manin 与 Dubois-Violette-Launer 构造的普遍量子线性群作为作用于 $A(n,\mathbb{E})$ 上的 Hopf 代数。
• 应用 Bichon 关于 $\mathcal{B}(\mathbb{E})$ 上同调性质的结果，证明 $\mathcal{O}_A(SL)$ 为 Artin-Schelter 正则且为维数3的斜 Calabi-Yau 代数。
• 通过矩阵合同分类 $\mathbb{E}$，以确定 $A(n,\mathbb{E})$ 的 Nakayama 性质与幂中央 Nakayama 性质。
• 利用上同调余行列式及其中心性，分析商 Hopf 代数的余交换性。
• 应用余 Morita 等价结果，将 $\mathcal{G}(\mathbb{X},\mathbb{Y})$ 与标准量子群如 $\mathcal{O}_q(GL_2)$ 关联。
• 利用 [3]、[33] 与 [35] 的结果，将代数结构与上同调不变量联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，作用于非诺特性 AS 正则代数（维数为2）的普遍量子线性群本身亦为 Artin-Schelter 正则？
• RQ2 量子群在何时为斜 Calabi-Yau 或对合的？这与定义矩阵 $\mathbb{E}$ 的对称性有何关联？
• RQ3 对于哪些 $n$ 与 $\mathbb{E}$，该量子群为诺特性且具有有限 Gelfand-Kirillov 维数？
• RQ4 当上同调余行列式为中央元或某中央元的幂时，何时可推出量子群的余交换性？
• RQ5 何种精确的矩阵分类可保证代数为中央 Nakayama 或幂中央 Nakayama？

主要发现

• 当上同调余行列式平凡时，普遍量子线性群 $\mathcal{O}_A(SL)$ 为全局维数3的 Artin-Schelter 正则代数，且为斜 Calabi-Yau 代数。
• 当上同调余行列式为中央元时，量子群为诺特性且具有有限 Gelfand-Kirillov 维数当且仅当 $n=2$。
• 若 $\mathbb{E}$ 为对称或斜对称且 $n$ 为偶数，则 $\mathcal{O}_A(SL)$ 同时为 Calabi-Yau 且对合。
• 对于任意上同调余行列式的对合量子群，上述有限性与诺特性结果仅在 $n=2$ 时成立。
• 若作用于 $A(n,\mathbb{E})$ 的 Hopf 代数其上同调余行列式为中央元，则当 $\mathbb{E}$ 合同于 $\mathbb{J}_n$ 与 $\mathbb{D}_{2r_i}(q_i)$ 的直和（其中 $\{q_i^{\pm 1}\}$ 互异）时，该 Hopf 代数为余交换代数；且仅当其为群代数时为有限维。
• 若 $\mathbb{E}$ 合同于此类直和，且所有 $e \geq 1$ 的 $\{q_i^{\pm e}\}$ 互异，则当 $\sf{D}^m$ 为中央元（对某 $m \geq 1$）时，$H$ 为余交换代数。