[论文解读] On quasi-categories of comodules and Landweber exactness

Takeshi Torii|arXiv (Cornell University)|Dec 10, 2016

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 2被引用 6

一句话总结

本文证明了与一个 Landweber 严格 $$\mathbb{S}$$-代数相关的余代数上的余模的 quasi-category 仅依赖于其对应的形式群的高。此外，本文还表明，$E(n)$-局部谱的 quasi-category 同构于任意高度为 $n$ 的 Landweber 严格 $$\mathbb{S}_{(p)}$$-代数 $A$ 的 $A \otimes A$ 上的余模的 quasi-category，且在 $K(n)$-局部对称 $$\mathbb{G}_n$$-谱中，Morava $E_n$-理论的离散模型上的模对象的范畴构成了 $K(n)$-局部范畴的一个模型。

ABSTRACT

In this paper we study quasi-categories of comodules over coalgebras in a stable homotopy theory. We show that the quasi-category of comodules over the coalgebra associated to a Landweber exact S-algebra depends only on the height of the associated formal group. We also show that the quasi-category of E(n)-local spectra is equivalent to the quasi-category of comodules over the coalgebra A\otimes A for any Landweber exact S_(p)-algebra A of height n at a prime p. Furthermore, we show that the category of module objects over a discrete model of the Morava E-theory spectrum in the K(n)-local discrete symmetric G_n-spectra is a model of the K(n)-local category, where G_n is the extended Morava stabilizer group.

研究动机与目标

• 研究稳定同伦论中局部化 quasi-category 与余代数上余模的 quasi-category 之间的关系。
• 证明与 Landweber 严格 $$\mathbb{S}$$-代数相关的余代数上的余模的 quasi-category 仅依赖于其对应形式群的高。
• 建立 $E(n)$-局部谱的 quasi-category 与任意高度为 $n$ 的 Landweber 严格 $$\mathbb{S}_{(p)}$$-代数 $A$ 的 $A \otimes A$ 上余模的 quasi-category 之间的等价性。
• 证明在 $K(n)$-局部对称 $$\mathbb{G}_n$$-谱中，Morava $E_n$-理论的离散模型上的模对象的范畴可作为 $K(n)$-局部范畴的模型。

提出的方法

• 在稳定同伦论 $$\mathcal{C}$$ 中构造一个余代数对象上余模的 quasi-category，将余模视为 $A$-模的对偶范畴中的模对象。
• 为 $$\mathcal{C}$$ 中的代数对象 $A$ 定义余代数 $A \otimes A$，并研究该余代数上的左余模的 quasi-category。
• 利用标量扩张函子 $B \otimes_A (-)$ 将不同代数上的余模 quasi-category 联系起来，证明其可延拓为余模范畴之间的函子。
• 应用稳定同伦论中的结果，包括 Adams-Novikov 族谱序列和基于 $E$ 的族谱序列，以导出函子的初等部分来分析 $E_2$-页。
• 利用基于 $E$-族谱序列的 $E_2$-页仅依赖于形式群律的高的事实，推导出余模范畴的不变性。
• 使用带标记的单纯集和内射映射（例如，带标记的内射扩张）来证明 $$\infty$$-范畴中的提升性质，特别是针对 $$\pi$$-Cartesian 边和纤维化。

实验结果

研究问题

• RQ1 与 Landweber 严格 $$\mathbb{S}$$-代数相关的余代数上的余模的 quasi-category 是否仅依赖于其对应形式群的高？
• RQ2 $E(n)$-局部谱的 quasi-category 是否同构于任意高度为 $n$ 的 Landweber 严格 $$\mathbb{S}_{(p)}$$-代数 $A$ 的 $A \otimes A$ 上余模的 quasi-category？
• RQ3 在 $K(n)$-局部对称 $$\mathbb{G}_n$$-谱中，Morava $E_n$-理论的离散模型上的模对象的范畴能否作为 $K(n)$-局部范畴的模型？
• RQ4 标量扩张函子 $L_{K(n)}(F_n \otimes (-))$ 是否是 $$\Sigma{\rm Sp}(\mathbb{G}_n)_{K(n)}$$ 与 ${\rm LMod}_{F_n}(\Sigma{\rm Sp}(\mathbb{G}_n)_{K(n)})$ 之间的左 Quillen 等价？
• RQ5 基于 $E$ 的 Adams-Novikov 族谱序列中的导出函子如何与余模的 quasi-category 的结构相关？

主要发现

• 对于任意 Landweber 严格 $$\mathbb{S}$$-代数 $A$，其 $A \otimes A$ 上余模的 quasi-category 仅依赖于其对应形式群的高，与具体代数无关。
• 对于任意高度为 $n$ 的 Landweber 严格 $$\mathbb{S}_{(p)}$$-代数 $A$，其 $A \otimes A$ 上余模的 quasi-category 同构于 $E(n)$-局部谱的 quasi-category。
• 标量扩张函子 $L_{K(n)}(F_n \otimes (-))$ 是左 Quillen 等价，表明在 $K(n)$-局部对称 $$\mathbb{G}_n$$-谱中，$E_n$ 的离散模型上的模对象的范畴构成了 $K(n)$-局部范畴的模型。
• ${\rm LMod}_{F_n}(\Sigma{\rm Sp}(\mathbb{G}_n)_{K(n)})$ 是 $K(n)$-局部范畴的一个 Quillen 模型，为该稳定范畴提供了离散代数模型。
• 证明依赖于带标记单纯集中的提升性质，通过带标记的内射扩张和 $$\pi$-Cartesian 边条件，在 $$\Delta^n \times \Delta^2$$ 上构造映射的扩张。
• 等价性结果源于基于 $E$ 的 Adams-Novikov 族谱序列的 $E_2$-页在高下的不变性，这表明余模的导出范畴仅依赖于高。