[论文解读] On Radicals of Ore Extensions and Related Questions

Be’eri Greenfeld, Agata Smoktunowicz+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 26, 2017

Advanced Topics in Algebra参考文献 30被引用 3

一句话总结

本文解决了非交换环论中关于Ore扩张和微分多项式环中根式的一系列开放问题。证明了若R是素根式环且具有导子δ，则微分多项式环R[X;δ]是局部幂零的，并证明当基域为无限域时，R[X;δ]的幂零根式具有形式I[X;δ]，从而回答了Nielsen、Ziembowski以及Hong等人长期悬而未决的问题。此外，本文还证明了在特征零下，雅可比森根式在保持分次的导子下保持稳定，并确认了具有局部幂零σ-导子的幂级数环的良定义性，推广了先前的结果。

ABSTRACT

We answer several open questions and establish new results concerning differential and skew polynomial ring extensions, with emphasis on radicals. In particular, we prove the following results. If $R$ is prime radical and $δ$ is a derivation of $R$, then the differential polynomial ring $R[X;δ]$ is locally nilpotent. This answers an open question posed in by Nielsen and Ziembowski. The nil radical of a differential polynomial ring $R[X;δ]$ takes the form $I[X;δ]$ for some ideal $I$ of $R$, provided that the base field is infinite. This answers an open question posed by Hong, Kim, Lee and Nielsen for algebras over infinite fields. If $R$ is a graded algebra generated in degree $1$ over a field of characteristic zero and $δ$ is a grading preserving derivation on $R$, then the Jacobson radical of $R$ is $δ$-stable. Examples are given to show the necessity of all conditions, thereby proving this result is sharp. Skew polynomial rings with natural grading are locally nilpotent if and only if they are graded locally nilpotent. The power series ring $R[[X;σ,δ]]$ is well-defined whenever $δ$ is a locally nilpotent $σ$-derivation; this answers a conjecture by Bergen and Grzeszczuk and opens up the possibility of generalizing many research directions studied thus far only when further restrictions are put on $δ$.

研究动机与目标

• 解决关于微分环与斜多项式环中根式结构的开放问题。
• 研究在Ore扩张中，幂零根式与雅可比森根式在导子作用下的行为。
• 确定微分多项式环为局部幂零或具有特定形式根式的条件。
• 确立具有局部幂零σ-导子的幂级数环的良定义性，扩展先前工作。

提出的方法

• 使用理想理论技术分析微分多项式环R[X;δ]中根式的结构。
• 应用素根式环与局部幂零导子的性质，证明R[X;δ]的局部幂零性。
• 借助基域为无限域的假设，将幂零根式刻画为R的某个理想I的I[X;δ]形式。
• 利用分次与特征零的假设，证明在分次代数中，雅可比森根式在导子δ下的稳定性。
• 分析具有自然分次的斜多项式环，证明局部幂零性与分次局部幂零性的等价性。
• 证明当δ为局部幂零σ-导子时，幂级数环R[[X;σ,δ]]是良定义的，证实了Bergen与Grzeszczuk的猜想。

实验结果

研究问题

• RQ1 当R为素根式环时，微分多项式环R[X;δ]在何种条件下是局部幂零的？
• RQ2 当基域为无限域时，R[X;δ]的幂零根式在何种条件下具有形式I[X;δ]（其中I为R的理想）？
• RQ3 在特征零的域上，对于由度数1生成的分次代数R及保持分次的导子δ，雅可比森根式是否δ-稳定？
• RQ4 具有自然分次的斜多项式环是否当且仅当其为分次局部幂零时才是局部幂零的？
• RQ5 当δ为局部幂零σ-导子时，幂级数环R[[X;σ,δ]]是否良定义？

主要发现

• 若R为素根式环且δ为R上的导子，则微分多项式环R[X;δ]是局部幂零的，解决了Nielsen与Ziembowski提出的开放问题。
• 当基域为无限域时，R[X;δ]的幂零根式具有形式I[X;δ]（其中I为R的理想），回答了Hong、Kim、Lee与Nielsen提出的开放问题。
• 对于在特征零域上由度数1生成的分次代数R及保持分次的导子δ，R的雅可比森根式是δ-稳定的，且通过反例表明该结果是紧致的。
• 具有自然分次的斜多项式环是局部幂零的，当且仅当其为分次局部幂零的，建立了精确的等价关系。
• 当δ为局部幂零σ-导子时，幂级数环R[[X;σ,δ]]是良定义的，证实了Bergen与Grzeszczuk的猜想，并为Ore扩张理论的更广泛推广铺平了道路。