[论文解读] On Ramsey Properties of k-Majority Tournaments

A. Shapira, Raphael Yuster|arXiv (Cornell University)|Mar 4, 2026

Limits and Structures in Graph Theory被引用 0

一句话总结

本文提高了 k-多数对局中有传递子锦标赛大小的下界，表明 t = n^{Ω(1/k)}，并发展了二分变体、界限和随机对局的后果。

ABSTRACT

A central objective in Ramsey theory is determining whether restricted families of discrete structures necessarily contain substantially larger homogeneous substructures, compared to the unrestricted structures. In the setting of tournaments, it is well known that every tournament contains a transitive subgraph of size $\log n$, and that this is best possible up to a constant factor. A restricted family of tournaments that has been extensively studied is the family of $k$-majority tournaments. They are obtained by taking $2k-1$ linear orders of a set $X$, and defining a tournament on $X$ which has an edge from $u$ to $v$ if $u$ precedes $v$ in at least $k$ of these orders. Milans, Schreiber, and West proved that such tournaments indeed have significantly larger transitive tournaments. More precisely, they proved that every $k$-majority tournament contains a transitive tournament of size $n^{2^{-Θ(k)}}$. Our main goal in this paper is to give an exponential improvement in the dependence of the exponent on $k$ by showing that every $k$-majority tournament contains a transitive set of size $n^{Ω(1/k)}$. Finally, we highlight several open problems and conjectural directions related to random $k$-majority tournaments.

研究动机与目标

• 在受限对局族中，尤其是 k-多数对局，研究同质（传递）子图的动机与意义。
• 将传递子结构大小对 k 的依赖从之前接近 n^{2^{-Θ(k)}} 的形式改进为 n^{Ω(1/k)}。
• 开发并分析二分传递子锦标赛变体，以揭示 k-多数对局的结构。
• 研究随机的 k-多数对局，以推导常见行为与极限的界限与猜想。

提出的方法

• 定义并分析由 2k-1 条线性序生成的 k-多数对局。
• 引入并研究描述两部分之间支配与一致性的二分参数 d_k(n) 与 d_k^*(n)。
• 证明 d_k(n)、d_k^*(n) 与 b_k(n)（相关的二分参数）的下界与上界。
• 使用概率构造（随机排列）与并集界限，得出如 d_k(n) ≤ (1+o(1)) e n / 2^{k} 等界。
• 推导递归界定方案，从二分结果获得 f_k(n) 的下界，得到 f_k(n) ≥ n^{1/(2k - (1/2) log_2 k)}。
• 分析极限 log_n f_k(n) 的存在性及二分常数（b_k、d_k、d_k^*(n)）相关极限。
• 应用高维模式避免结果（通过 Cibulka–Kynčl）来研究随机 2-多数对局中的传递子结构。

实验结果

研究问题

• RQ1 在每个 n 顶点的 k-多数对局中，最大的 t=f_k(n) 是多少，是否存在一个传递的 T_t？
• RQ2 在 k-多数对局中，二分及相关参数 (b_k(n)、d_k(n)、d_k^*(n)) 的渐近行为和极限是什么？
• RQ3 在随机的 k-多数对局中，最大的传递子结构能有多小，并如何随 n 与 k 而变？
• RQ4 这些下界是否能够推广至对更大 k 的近似或渐近最优性？

主要发现

• 论文证明 f_k(n) = n^{Ω(1/k)}，在对 k 的依赖上比之前的 n^{−Θ(k)} 改进显著。
• 确立了极限存在性 lim_{n→∞} log_n f_k(n) 并给出界限 (1+o_k(1)) (ln k)/(ln ln k) ≤ c_k ≤ 2k − (1/2) log_2 k，其中 c_k = 1/f_k 极限倒数。
• 对于二分参数，论文给出 d_k^*(n) ≤ (1+o(1)) e n / 2^{2k−1} 与 d_k(n) ≤ (1+o(1)) e n / 2^{k}，在极限下 b_k(n) 位于 Θ(k) 与 O(k) 之间，且 k=2 时具有具体值：b_2 = d_2 = k。
• 作者证明 b_2(n) = (1+o(1)) n/6，并证明在一个构造的情形下，b_2(n) 与 d_2(n) 对大 n 取值相等。
• 命题 1.3 表明随机的 2-多数对局中 E[X(n,2)] = O(n^{2/3})，并猜测 r_k = O(1/k) 表示随机 k-多数对局中传递大小的增长速率。
• 第 2–4 节给出关于二分参数、传递子对局结果以及命题 1.3 的随机对局界限的详细界限与证明。