[论文解读] On random convex analysis -- the analytic foundation of the module approach to conditional risk measures

Tiexin Guo, Shien Zhao+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 5, 2012

Risk and Portfolio Optimization参考文献 38被引用 13

一句话总结

本文通过统一 $(\varepsilon,\lambda)$-拓扑与局部 $L^0$-凸拓扑，在随机局部凸模上建立了完整的随机凸分析框架，证明了每个 $L^0$-凸 $L^p$-条件风险度量（$1 \leq p \leq \infty$）均可唯一延拓为 $L^p_{\mathcal{F}}(\mathcal{E})$-条件风险度量。关键贡献在于表明 $L^p$-度量的对偶表示是更一般的 $L^p_{\mathcal{F}}(\mathcal{E})$-框架的特例，从而统一了其研究，并揭示了可数可加包与局部性质是简化 $L^0$-凸风险度量分析的强大分析工具。

ABSTRACT

To provide a solid analytic foundation for the module approach to conditional risk measures, this paper establishes a complete random convex analysis over random locally convex modules by simultaneously considering the two kinds of topologies (namely the $(\varepsilon,λ)$--topology and the locally $L^0$-- convex topology). Then, we make use of the advantage of the $(\varepsilon,λ)$--topology and grasp the local property of $L^0$--convex conditional risk measures to prove that every $L^{0}$--convex $L^{p}$--conditional risk measure ($1\leq p\leq+\infty$) can be uniquely extended to an $L^{0}$--convex $L^{p}_{\mathcal{F}}(\mathcal{E})$--conditional risk measure and that the dual representation theorem of the former can also be regarded as a special case of that of the latter, which shows that the study of $L^p$--conditional risk measures can be incorporated into that of $L^{p}_{\mathcal{F}}(\mathcal{E})$--conditional risk measures. In particular, in the process we find that combining the countable concatenation hull of a set and the local property of conditional risk measures is a very useful analytic skill that may considerably simplify and improve the study of $L^{0}$--convex conditional risk measures.

研究动机与目标

• 通过随机凸分析为模方法下的条件风险度量提供严谨的分析基础。
• 通过证明 $L^p$-条件风险度量可唯一延拓为 $L^p_{\mathcal{F}}(\mathcal{E})$-条件风险度量，统一二者的研究。
• 证明 $L^p$-条件风险度量的对偶表示是更一般 $L^p_{\mathcal{F}}(\mathcal{E})$-框架的特例。
• 识别并利用可数可加包与局部性质作为简化 $L^0$-凸风险度量分析的关键分析工具。
• 建立在 $(\varepsilon,\lambda)$-拓扑下，扩展风险度量的下确界连续性与连续性的等价条件。

提出的方法

• 同时分析随机局部凸模上的两种拓扑：$(\varepsilon,\lambda)$-拓扑与局部 $L^0$-凸拓扑。
• 在两种拓扑下应用 Fenchel-Moreau 对偶定理，推导 $L^0$-凸下确界连续正规函数的对偶表示。
• 利用条件风险度量的局部性质与集合的可数可加包简化分析并证明延拓定理。
• 通过对偶性与拓扑刻画，建立在 $(\varepsilon,\lambda)$-拓扑下扩展风险度量的下确界连续性与连续性的等价关系。
• 应用引理 3.16 与引理 4.24，关联对偶函数并证明 $f^* = \bar{f}^*$，实现 $L^p(\mathcal{E})$ 与 $L^p_{\mathcal{F}}(\mathcal{E})$ 空间之间对偶结果的转移。
• 证明 $L^p$-条件风险度量的对偶表示在特定对偶变量的可积性与期望约束下，等价于其在 $L^p_{\mathcal{F}}(\mathcal{E})$-度量下的对偶表示。

实验结果

研究问题

• RQ1 $L^0$-凸 $L^p$-条件风险度量能否唯一延拓为 $L^p_{\mathcal{F}}(\mathcal{E})$-条件风险度量？
• RQ2 $L^p$-条件风险度量的对偶表示是否为 $L^p_{\mathcal{F}}(\mathcal{E})$-框架中对偶表示的特例？
• RQ3 在随机凸分析与对偶性背景下，$(\varepsilon,\lambda)$-拓扑与局部 $L^0$-凸拓扑之间有何关系？
• RQ4 集合的可数可加包在简化 $L^0$-凸条件风险度量分析中起什么作用？
• RQ5 在何种条件下，扩展的 $L^p_{\mathcal{F}}(\mathcal{E})$-风险度量在 $(\varepsilon,\lambda)$-拓扑下是下确界连续或连续的？

主要发现

• 每个 $L^0$-凸 $L^p$-条件风险度量（$1 \leq p \leq \infty$）均可唯一延拓为 $L^p_{\mathcal{F}}(\mathcal{E})$-条件风险度量。
• $L^p$-条件风险度量的对偶表示与其在 $L^p_{\mathcal{F}}(\mathcal{E})$ 上的延拓对偶表示等价，意味着更一般的 $L^p_{\mathcal{F}}(\mathcal{E})$-框架包含了 $L^p$-情形。
• 集合的可数可加包与条件风险度量的局部性质相结合，是简化 $L^0$-凸风险度量研究的强大分析工具。
• 定理 4.31 建立了 $L^p$-条件风险度量对偶表示的七个等价条件，包括在 $(\varepsilon,\lambda)$-拓扑下的下确界连续性与连续性。
• 扩展风险度量 $\bar{f}$ 在 $(\varepsilon,\lambda)$-拓扑下是下确界连续的，当且仅当其对偶表示中对偶变量满足 $E(|y|^{q}|\mathcal{F}) \in L^\infty(\mathcal{F})$ 且 $E(y|\mathcal{F}) = -1$。
• 定理 4.31 的证明为文献 [10] 中命题 4.27 提供了更短且更一般的证明，同时建立了其成立的充要条件。