[论文解读] On random intersections of two convex bodies. Appendix to: "Isoperimetry of waists and local versus global asymptotic convex geometries" by R.Vershynin

Mark Rudelson, Roman Vershynin|arXiv (Cornell University)|Apr 27, 2004

Point processes and geometric inequalities被引用 6

一句话总结

该论文将 R^n 中两个对称凸体随机相交的直径界从先前的指数因子 C^{n/k} 改进为多项式因子 (n/k)^2，代价是将成功概率从 1−e^{−n} 降低至 1−e^{−k}。关键创新在于提出了一种类覆盖引理，可控制低维投影中的度量熵，从而通过高维空间中的体积和几何论证实现更紧的集中度量界。

ABSTRACT

In the paper "Isoperimetry of waists and local versus global asymptotic convex geometries", it was proved that the existence of nicely bounded sections of two symmetric convex bodies K and L implies that the intersection of randomly rotated K and L is nicely bounded. In this appendix, we achieve a polynomial bound on the diameter of that intersection (in the ratio of the dimensions of the sections).

研究动机与目标

• 改进 R^n 中两个对称凸体 K 和 L 的随机相交 K ∩ UL 的直径界。
• 将先前工作中存在的指数因子 C^{n/k} 替换为多项式界 (n/k)^2。
• 在实现改进界的同时，将失败概率从 1−e^{−n} 降低至 1−e^{−k}。
• 为具有低维投影的凸体建立一个新的覆盖引理，以实现更紧的度量熵估计。
• 在随机截面与相交的等周几何与渐近凸几何框架下，实现定量改进。

提出的方法

• 提出一种新颖的覆盖引理（引理 2），用于控制满足秩为 n−k 的正交投影 P 的条件的凸体 K 包含 δD 时的覆盖数 N(D, 4K)。
• 使用一种提升构造 f: PD → R^n，使得 f(PD) ⊂ K 且 (id−f)(PD) ⊂ E⊥，其中 E 是 P 的像空间。
• 应用体积论证，对 V ⊂ (1/δ + 1)K ∩ E⊥ 有 N(V, K) ≤ (C/δ)^k，利用 k 维正交补空间。
• 通过子乘性性质组合覆盖数估计：N(PD, 2K) ≤ N(K + V, 2K) ≤ N(V, K) ≤ (C/δ)^k。
• 将覆盖引理应用于 L + δ_L D，得到 N(D, 4(L + δ_L D)) ≤ (C/δ_L)^{2ak}，适用于秩为 ak 的投影。
• 将覆盖估计与 [V] 中的引理 4.1 结合，推导出概率包含关系：(1−δ_K−8δ_L)D ⊆ K + 8UL 几乎必然成立。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否用多项式界替代凸体随机相交的指数直径界 C^{n/k}？
• RQ2 在随机相交估计中，直径界的质量与失败概率之间的权衡是什么？
• RQ3 如何控制低维投影中的覆盖数以改进集中度量界？
• RQ4 凸体投影的几何结构在随机相交行为中起什么作用？
• RQ5 能否构造一种新的覆盖引理，以取代高维渐近凸几何中对指数型熵界依赖？

主要发现

• 随机相交 K ∩ UL 的直径以至少 1−e^{−k} 的概率被控制在 C(n/k)^2 以内，优于先前的 1−e^{−n} 界。
• 当 t > C(n/k)^{Ca} 时，P(diam(K ∩ UL) > t(n/k)) ≤ (ct)^{-k/16}，表明尾部衰减为多项式。
• 通过设定 t = C_1(n/k)，直径界变为 C_1(n/k)^2，失败概率为 (cC_1 n/k)^{-k/16} < e^{-k}，当 C_1 适当选择时成立。
• 新覆盖引理在假设 K ⊇ δD 且 PK ⊇ PD（P 为秩 n−k 投影）下，给出 N(D, 4K) ≤ (C/δ)^{2k} 的界。
• 通过选择 δ_L = ε²k/(32n)，证明中包含 (1−δ_K−8δ_L)D ⊆ K + 8UL 的半径下界为 (ε²k)/(4n)。
• 当 ε ≤ c_0(k/n)^{C_0 a} 时，最终概率界为 1−(Cε)^{k/8}，确保覆盖数项被熵项主导。