[论文解读] On random times

Constantinos Kardaras|arXiv (Cornell University)|Jul 7, 2010

Stochastic processes and financial applications被引用 1

一句话总结

本文证明，对于随机时间内的可选过程，假设该随机时间为随机化停时在分布分析中不会造成一般性损失。该文利用此洞见，基于Girsanov定理提供了Jeulin-Yor分解公式的全新证明，并将该框架应用于金融模型以及带 drift 的布朗运动在达到其最大值和最后通过时间时的行为分析。

ABSTRACT

In this paper, a study of random times on filtered probability spaces is undertaken. The main message is that, as long as distributional properties of optional processes up to the random time are involved, there is no loss of generality in assuming that the random time is actually a randomised stopping time. This perspective has advantages in both the theoretical and practical study of optional processes up to random times. Applications are given to financial mathematics, as well as to the study of the stochastic behaviour of Brownian motion with drift up to its time of overall maximum as well as up to last-passage times over finite intervals. Furthermore, a novel proof of the Jeulin-Yor decomposition formula via Girsanov's theorem is provided.

研究动机与目标

• 建立随机时间内的可选过程的分布行为与随机化停时的等价性。
• 通过将一般随机时间简化为随机化停时，简化可选过程的理论与实际分析。
• 基于Girsanov定理，为Jeulin-Yor分解公式提供一种新证明。
• 将该框架应用于金融数学，以及带 drift 的布朗运动的首次通过时间与最后通过时间。

提出的方法

• 分析在带过滤的概率空间上进行，重点研究随机时间内的可选过程。
• 关键技术在于证明：任何随机时间均可被嵌入为随机化停时，而不会改变可选过程的分布特性。
• 应用Girsanov定理，推导出Jeulin-Yor分解公式的全新证明。
• 将该框架应用于研究带 drift 的布朗运动在达到整体最大时间时的随机行为。
• 该方法可扩展至有限区间内的最后通过时间，利用随机化停时表示法。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，可将一般随机时间替换为随机化停时，而不改变可选过程的分布特性？
• RQ2 如何在此框架内利用Girsanov定理重新推导Jeulin-Yor分解公式？
• RQ3 该表示法对具有随机到期日或违约时间的金融资产建模有何影响？
• RQ4 带 drift 的布朗运动在达到整体最大时间时的行为如何与随机化停时框架相关联？
• RQ5 能否有效利用该方法分析有限区间内布朗运动的最后通过时间？

主要发现

• 当随机时间被替换为随机化停时时，可选过程的分布特性得以保持。
• 通过Girsanov定理，建立了Jeulin-Yor分解公式的全新证明，为理解其结构提供了新视角。
• 该框架使对带 drift 的布朗运动在达到整体最大时间时的行为进行更系统化的分析成为可能。
• 该方法为研究有限区间内布朗运动的最后通过时间提供了统一的方法。
• 该结果增强了在涉及随机时间事件的金融数学理论理解与实际建模能力。