[论文解读] On Rastall gravity formulation as a $f(R,\mathcal{L}_m)$ and a $f(R,T)$ theory

J. C. Fabris, Oliver F. Piattella+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 20, 2020

Cosmology and Gravitation Theories被引用 4

一句话总结

本文研究了Rastall引力——其中应力-能量张量的散度与里奇标量梯度成正比——是否可从$f(R,\mathcal{L}_m)$或$f(R,T)$引力作用量中导出。结果表明，尽管Rastall的场方程与这些扩展引力理论的场方程相似，但Rastall的应力-能量张量在一般情况下无法完全从这些理论中恢复，仅在特殊情况下成立，凸显了将Rastall的协变、可逆应力-能量张量重定义直接嵌入标准作用量框架中的困难。

ABSTRACT

Rastall introduced a stress-energy tensor whose divergence is proportional to the gradient of the Ricci scalar. This proposal leads to a change in the form of the field equations of General Relativity, but it preserves the number of degrees of freedom. Rastall's field equations can be either interpreted as GR with a redefined SET, or it can imply different physical consequences inside the matter sector. We investigate limits under which the Rastall field equations can be directly derived from an action, in particular from two $f(R)$-gravity extensions: $f(R,\mathcal L_m)$ and $f(R,T)$. We show that there are similarities between these theories, but the Rastall SET cannot be fully recovered from them, apart from certain particular cases here discussed. It is remarkable that a simple, covariant and invertible redefinition of the SET, as the one proposed by Rastall, is hard to be directly implemented in the action.

研究动机与目标

• 确定Rastall引力的场方程是否可从$f(R,\mathcal{L}_m)$或$f(R,T)$引力作用量中导出。
• 检验Rastall的修改后应力-能量张量守恒与标准作用量引力理论之间的物理与数学相容性。
• 阐明守恒张量$T^{\text{(C)}}_{\mu\nu}$在连接Rastall形式与标准广义相对论中的作用。
• 研究直接从作用量推导Rastall的非标准应力-能量张量的可行性，特别是通过场重新定义。
• 评估$f(R,T)$和$f(R,\mathcal{L}_m)$理论在一般条件下是否能完全再现Rastall引力的动力学。

提出的方法

• 从满足$\nabla^\mu T^{\text{(R)}}_{\mu\nu} \propto \nabla^\nu R$的修改后应力-能量张量推导Rastall场方程，其中包含自由参数$\gamma$。
• 通过$T^{\text{(R)}}_{\mu\nu}$的线性、可逆变换引入一个守恒张量$T^{\text{(C)}}_{\mu\nu}$，从而实现与标准广义相对论中重新定义物质内容的等价性。
• 应用标准广义相对论的定义$T^{\text{(S)}}_{\mu\nu} = -\frac{2}{\sqrt{-g}} \frac{\delta S_m}{\delta g^{\mu\nu}}$，从Rastall框架中恢复守恒流。
• 利用场重新定义（例如，$\partial_\mu \phi \propto (\partial_\lambda \xi \partial^\lambda \xi)^{(1-k)/(2k)} \partial_\mu \xi$）将Rastall的标量场动力学映射到k-本质作用量。
• 通过将作用量分解为引力部分与物质部分，分析$f(R,T)$和$f(R,\mathcal{L}_m)$理论，评估其得到的$T_{\mu\nu}$是否与Rastall形式一致。
• 证明尽管$T^{\text{(C)}}_{\mu\nu}$可从标准作用量中导出，但原始的$T^{\text{(R)}}_{\mu\nu}$无法通过此类作用量的度规变分直接获得。

实验结果

研究问题

• RQ1 Rastall引力的场方程是否可从$f(R,\mathcal{L}_m)$或$f(R,T)$作用量中导出？
• RQ2 在Rastall框架中，守恒张量$T^{\text{(C)}}_{\mu\nu}$与标准应力-能量张量$T^{\text{(S)}}_{\mu\nu}$之间存在何种关系？
• RQ3 在何种条件下，可从$f(R,T)$或$f(R,\mathcal{L}_m)$理论中恢复Rastall应力-能量张量？
• RQ4 是否存在一个一致的作用量形式，能通过度规变分直接产生Rastall的非守恒$T^{\text{(R)}}_{\mu\nu}$？
• RQ5 场重新定义如何将Rastall的标量场动力学与k-本质或标准标量场作用量联系起来？

主要发现

• Rastall的场方程可映射为具有重新定义物质应力-能量张量$T^{\text{(C)}}_{\mu\nu}$的标准广义相对论，该张量是守恒的，且等价于$T^{\text{(S)}}_{\mu\nu}$。
• 当$\gamma \neq 3/2$时，$T^{\text{(R)}}_{\mu\nu}$与$T^{\text{(C)}}_{\mu\nu}$之间的变换是线性且可逆的，从而可从标准作用量中完全重构Rastall张量。
• 在一般情况下，Rastall应力-能量张量无法从$f(R,T)$或$f(R,\mathcal{L}_m)$作用量中完全恢复，仅在特定情况下（如作用量可清晰划分为引力与物质部分）成立。
• 对于$f(R,T)$理论，作用量内部出现的$T_{\mu\nu}$不一定是守恒的，且守恒流通常不匹配作用量中使用的$T_{\mu\nu}$。
• Rastall引力中的自由标量场可通过场重新定义映射为k-本质场，对应的动作$S[\xi] = \int (\partial_\mu \xi \partial^\mu \xi)^{1/k} \sqrt{-g} \, d^4x$ 与Rastall形式产生相同的守恒流。
• 本文结论为：尽管Rastall引力在动力学上等价于具有重新定义物质内容的广义相对论，但其非标准应力-能量张量无法在不引入额外场重新定义或约束的条件下，直接从标准作用量框架的$f(R,\mathcal{L}_m)$或$f(R,T)$理论中导出。