[论文解读] On rational functions orthogonal to all powers of a given rational function on a curve

Fedor Pakovich|ArXiv.org|Oct 12, 2009

Algebraic and Geometric Analysis参考文献 20被引用 18

一句话总结

本文研究复曲线上有理函数 $ P(z), q(z) $ 的生成函数 $ f(t) = \sum_{i=0}^\infty \left( \int_\gamma P^i(z) q(z) \, dz \right) t^i $。它为 $ f(t) $ 提供了显式解析表达式，建立了其有理性的条件及消失的条件，并在一般情形下给出了 $ q(z) $ 与所有 $ P(z) $ 的幂正交的完整判别准则，推广了经典结果如 Wermer 定理和 Duistermaat–van der Kallen 定理。

ABSTRACT

In this paper we study the generating function f(t) for the sequence of the moments \int_γP^i(z)q(z)d z, i\geq 0, where P(z),q(z) are rational functions of one complex variable and γis a curve in C. We calculate an analytical expression for f(t) and provide conditions implying the rationality and the vanishing of f(t). In particular, for P(z) in generic position we give an explicit criterion for a function q(z) to be orthogonal to all powers of P(z). Besides, we prove a stronger form of the Wermer theorem, describing analytic functions satisfying \int_{S^1}h^i(z)g^j(z)g'(z)d z=0, i\geq 0, j\geq 0, in the case where the functions h(z),g(z) are rational. We also generalize the theorem of Duistermaat and van der Kallen about Laurent polynomials L(z) whose integral positive powers have no constant term, and prove other results about Laurent polynomials L(z),m(z) satisfying \int_{S^1}L^i(z)m(z)d z=0, i\geq i_0.

研究动机与目标

• 分析复曲线上有理函数 $ P(z), q(z) $ 的生成函数 $ f(t) = \sum_{i=0}^\infty \left( \int_\gamma P^i(z) q(z) \, dz \right) t^i $，特别是其有理性与消失性。
• 提供 $ q(z) $ 在 $ \gamma $ 上与所有 $ P^i(z) $ 正交的完整判别准则，尤其在 $ P(z) $ 处于一般位置时。
• 推广 Wermer 定理中关于形如 $ \int_{S^1} h^i g^j g' \, dz $ 的消失积分（$ h, g $ 为有理函数）的结果，并扩展对无常数项正幂的洛朗多项式的结果。
• 通过 $ P(z) - z = 0 $ 的单值群结构，利用单值群与伽罗瓦理论方法刻画多项式矩问题的解。
• 利用单值群上的表示理论与组合工具，建立生成函数 $ f(t) $ 为有理函数但不可约的条件。

提出的方法

• 利用留数理论与 $ \gamma $ 上的围线积分，基于有理函数 $ P(z), q(z) $ 的结构，推导出生成函数 $ f(t) $ 的显式解析表达式。
• 应用单值群理论分析向量空间 $ M_{P,\gamma} $（其元素为对应于 $ P^{-1}(z) $ 分支的向量 $ \vec{v} = (v_1, \dots, v_n) $），并利用该分析刻画正交性。
• 利用图符（dessins d’enfants）理论与置换表示分析多项式 $ P(x) - z $ 的伽罗瓦群 $ G_P $，并构造有理函数 $ R(t) $，使得 $ \sum v_i R(P_i^{-1}(z)) = 0 $。
• 应用定理 8.2，证明存在有理函数 $ \widehat{R}(t) \in \mathbb{C}(z)(t) $，其在普赛克斯级数域上满足某个函数方程，从而导出有理函数 $ q(z) = R(z) P'(z) $。
• 运用表示理论证明：若单值群 $ G $ 作用本原，且相关表示不是平凡与正交分量的直和，则 $ f(t) $ 为有理函数但不可约。
• 通过构造一个洛朗多项式 $ L(z) $，其单值群为 $ S_5 $，并验证 $ Q(L_i^{-1}(z)) $ 上的正交性条件，明确构造出 $ f(t) $ 为有理函数但不可约的显式例子。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，生成函数 $ f(t) = \sum_{i=0}^\infty \left( \int_\gamma P^i(z) q(z) \, dz \right) t^i $ 为有理函数？
• RQ2 在何种条件下 $ f(t) $ 恒为零，即 $ q(z) $ 在 $ \gamma $ 上与所有 $ P^i(z) $ 正交？
• RQ3 能否将经典的 Wermer 定理（关于形如 $ \int_{S^1} h^i g^j g' \, dz $ 的消失积分）强化或推广至有理函数情形？
• RQ4 洛朗多项式 $ L(z) $ 在何种精确条件下存在有理函数 $ q(z) $，使得对所有 $ i \geq i_0 $ 有 $ \int_{S^1} L^i(z) q(z) \, dz = 0 $，且生成函数为有理函数但不可约？
• RQ5 $ P(x) - z $ 的单值群如何决定矩问题 $ \int_\gamma P^i(z) q(z) \, dz = 0 $ 的解空间结构？

主要发现

• 生成函数 $ f(t) $ 具有由代数函数 $ P^{-1}(z) $ 的单值性导出的显式解析表达式，且其有理性等价于存在一个在 $ \mathbb{C}(z) $ 上满足函数方程的有理函数 $ R(t) $。
• 当 $ P(z) $ 处于一般位置时，$ q(z) $ 与所有 $ P^i(z) $ 正交当且仅当 $ Q(z) = \int q(z) \, dz $ 与 $ P(z) $ 满足某种复合条件，推广了经典复合猜想。
• 证明了 Wermer 定理的更强形式：对有理函数 $ h(z), g(z) $，对所有 $ i,j \geq 0 $ 有 $ \int_{S^1} h^i g^j g' \, dz = 0 $ 当且仅当 $ h(z), g(z) $ 满足与 $ g $ 的单值性相关的特定函数关系。
• 本文推广了 Duistermaat–van der Kallen 定理：对洛朗多项式 $ L(z), m(z) $，若对所有 $ i \geq i_0 $ 有 $ \int_{S^1} L^i(z) m(z) \, dz = 0 $，则 $ m(z) $ 必须与某个单值不变子空间的像正交。
• 构造了一个例子，其中 $ f(t) $ 为有理函数但不可约：一个洛朗多项式 $ L(z) $，其单值群为 $ S_5 $，作用于 10 个分支，以及一个有理函数 $ q(z) $，使得对所有 $ i \geq 0 $ 有 $ \int_{S^1} L^i(z) q(z) \, dz = 0 $，但 $ f(t) $ 在不可约意义下不是有理函数。
• 通过证明单值不变子空间 $ M_{L,S^1} $ 中不存在向量 $ \vec{e}_i - \vec{e}_j $，证明了此类不可约有理生成函数的存在性，意味着相关表示不能分解为平凡与正交分量的直和。