[论文解读] On Realization Theory of Quantum Linear Systems

John Gough, Guofeng Zhang|arXiv (Cornell University)|Nov 6, 2013

Quantum Information and Cryptography参考文献 27被引用 4

一句话总结

本文通过证明在简单的矩阵秩条件下的可控性与可观测性等价，建立了量子线性系统的实现理论，并推导了无源系统的最小实现。研究表明，最小实现具有赫尔维茨稳定性，并提供了显式构造方法——如独立振子实现与链式模式实现——这些方法与无损正实矩阵函数相关联，从而可计算最小实现的基数及分数阶传递函数表示。

ABSTRACT

The purpose of this paper is to study the realization theory of quantum linear systems. It is shown that for a general quantum linear system its controllability and observability are equivalent and they can be checked by means of a simple matrix rank condition. Based on controllability and observability a specific realization is proposed for general quantum linear systems in which an uncontrollable and unobservable subspace is identified. When restricted to the passive case, it is found that a realization is minimal if and only if it is Hurwitz stable. Computational methods are proposed to find the cardinality of minimal realizations of a quantum linear passive system. It is found that the transfer function of a quantum linear passive system $G$ can be written as a fractional form in terms of a matrix function $Σ$; moreover, $G$ is lossless bounded real if and only if $Σ$ is lossless positive real. A type of realization for multi-input-multi-output quantum linear passive systems is derived, which is closely related to its controllability and observability decomposition. Two realizations, namely the independent-oscillator realization and the chain-mode realization, are proposed for single-input-single-output quantum linear passive systems, and it is shown that under the assumption of minimal realization, the independent-oscillator realization is unique, and these two realizations are related to the lossless positive real matrix function $Σ$.

研究动机与目标

• 为一般量子线性系统发展全面的实现理论。
• 通过矩阵秩条件建立可控性与可观测性之间的等价性。
• 在一般量子线性系统中识别不可控与不可观测子空间。
• 通过赫尔维茨稳定性表征量子线性无源系统的最小实现。
• 推导用于确定SISO与MIMO情况下最小实现基数的计算方法。

提出的方法

• 通过矩阵秩条件识别不可控与不可观测子空间，对一般量子线性系统进行典范分解。
• 利用酉变换重表达系统变量，实现具有显式哈密顿量与耦合算符的结构化实现。
• 以矩阵函数Σ表示传递函数的分式表示，将系统特性与矩阵函数理论相联系。
• 针对SISO无源系统，提出两种特定实现——独立振子实现与链式模式实现，二者均与无损正实矩阵函数Σ相关联。
• 应用舒尔-费施巴赫公式与正交多项式理论，推导逆矩阵表达式并验证酉变换。
• 证明无源系统为无损有界实系统，当且仅当关联矩阵函数Σ为无损正实矩阵函数。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，一般量子线性系统中的可控性与可观测性等价？
• RQ2 如何系统性地识别量子线性系统中的不可控与不可观测子空间？
• RQ3 在量子线性无源系统中，最小实现与赫尔维茨稳定性之间存在何种关系？
• RQ4 如何计算SISO与MIMO量子线性无源系统中最小实现的基数？
• RQ5 矩阵函数Σ在表征无损有界实传递函数中的作用是什么？

主要发现

• 在一般量子线性系统中，可控性与可观测性等价，且可通过简单的矩阵秩条件进行检验。
• 构建了典范实现，显式识别出不可控与不可观测子空间，将卡尔曼分解推广至量子领域。
• 对于量子线性无源系统，最小性等价于赫尔维茨稳定性，为最小实现提供了清晰判据。
• SISO系统的最小实现基数由命题3.7给出，MIMO系统的最小实现基数由命题3.8给出，二者均基于系统的谱性质推导得出。
• 当且仅当关联矩阵函数Σ为无损正实矩阵函数时，量子线性无源系统为无损有界实系统，建立了根本性表征。
• 针对SISO系统，推导出两种不同的实现——独立振子实现与链式模式实现，且在最小性条件下，独立振子实现被证明具有唯一性。