[论文解读] On recursive properties of certain p-adic Whittaker functions

Fritz Hörmann|arXiv (Cornell University)|Oct 5, 2010

Advanced Algebra and Geometry被引用 2

一句话总结

本文建立了与二次型表示密度相关的p进Whittaker函数的递归性质，通过正交群判别子群作用下的轨道分解，证明其为 $ p^{-s} $ 上的多项式。关键贡献在于提出了一种广义轨道方程，将表示密度与稳定子体积相联系，从而支持了Kudla在高维正交Shimura簇中关于Eisenstein级数特殊导数的猜想。

ABSTRACT

We investigate recursive properties of certain p-adic Whittaker functions (of which representation densities of quadratic forms are special values). The proven relations can be used to compute them explicitly in arbitrary dimensions, provided that enough information about the orbits under the orthogonal group acting on the representations is available. These relations have implications for the first and second special derivatives of the Euler product over all p of these Whittaker functions. These Euler products appear as the main part of the Fourier coefficients of Eisenstein series associated with the Weil representation. In case of signature (m-2,2), we interpret these implications in terms of the theory of Borcherds' products on orthogonal Shimura varieties. This gives some evidence for Kudla's conjectures in higher dimensions.

研究动机与目标

• 研究 $ \mathbb{Z}_p $ 上二次型表示密度相关的p进Whittaker函数的递归性质。
• 将经典递归公式（如Kitaoka的公式）推广至 $ s $ 变量中的插值Whittaker函数，方法为添加双曲平面。
• 建立一个结构化轨道方程，将表示密度与判别子群 $ \mathrm{SO}'(L_{\mathbb{Z}_p}) $ 作用下的稳定子体积相联系。
• 为在任意维数下显式计算这些函数提供框架，前提是已知 $ \mathrm{SO}' $ 在等距集上的轨道结构。
• 为Kudla关于签名 $ (m-2,2) $ 的正交Shimura簇中Eisenstein级数特殊导数的猜想提供证据。

提出的方法

• 将表示密度 $ \mu_p(L_{\mathbb{Z}_p}, M_{\mathbb{Z}_p}, \kappa; s) $ 定义为等距集 $ I(M, L)(\mathbb{Q}_p) \cap \kappa $ 关于规范测度的体积。
• 利用测度的复合相容性（定理5.2），推导 $ \mu_p $ 与插值判别子群体积 $ \lambda_p(L_{\mathbb{Z}_p}; s) $ 的递归恒等式。
• 通过添加双曲平面，将判别子群 $ \mathrm{SO}'(L_{\mathbb{Z}_p}) $ 的体积插值为 $ p^{-s} $ 上的多项式，得到 $ \lambda_p(L_{\mathbb{Z}_p}; s) $。
• 证明 $ \mathrm{SO}' $-轨道在双曲平面扩展下保持稳定，从而确保递归公式可延拓至插值函数。
• 应用轨道方程 $ \mu_p(L_{\mathbb{Z}_p}, M_{\mathbb{Z}_p}, \kappa; s) = \sum_{\text{orbits}} \frac{\mathrm{vol}(\mathrm{SO}'(L_{\mathbb{Z}_p}))}{\mathrm{vol}(\mathrm{SO}'(\alpha^\perp_{\mathbb{Z}_p}))} $ 递归计算 $ \mu_p $。
• 在 $ \dim M = 1 $ 的情形下验证公式，作为特例恢复Yang的显式公式（定理7.2）。

实验结果

研究问题

• RQ1 p进Whittaker函数在通过正交群轨道进行递归分解时表现出何种行为？
• RQ2 表示密度 $ \mu_p $ 能否被延拓为 $ s \in \mathbb{C} $ 上的函数？其是否为 $ p^{-s} $ 上的多项式？
• RQ3 判别子群 $ \mathrm{SO}' $ 在组织等距自同构轨道中起何种作用？
• RQ4 $ \mu_p $ 与 $ \lambda_p $ 的递归公式如何与Eisenstein级数的傅里叶系数相关联？
• RQ5 这些公式在多大程度上支持了Kudla在高维情形下关于Eisenstein级数特殊导数的猜想？

主要发现

• 表示密度 $ \mu_p(L_{\mathbb{Z}_p}, M_{\mathbb{Z}_p}, \kappa; s) $ 是 $ p^{-s} $ 上的多项式，其次数受 $ M $ 的维数限制。
• 存在轨道方程：$ \mu_p(L_{\mathbb{Z}_p}, M_{\mathbb{Z}_p}, \kappa; s) = \sum_{\text{orbits}} \frac{\mathrm{vol}(\mathrm{SO}'(L_{\mathbb{Z}_p}))}{\mathrm{vol}(\mathrm{SO}'(\alpha^\perp_{\mathbb{Z}_p}))} $，其中求和范围为 $ \mathrm{SO}'(L_{\mathbb{Z}_p}) $ 在 $ I(M, L)(\mathbb{Q}_p) \cap \kappa $ 中的轨道。
• 插值体积 $ \lambda_p(L_{\mathbb{Z}_p}; s) $ 为 $ p^{-s} $ 上的多项式，通过双曲平面扩展显式计算得出。
• 当 $ \dim M = 1 $ 时，p进Whittaker函数通过计数 $ I(M, L)(\mathbb{Z}/p^k\mathbb{Z}) $ 得到，从而与格的zeta函数相联系（引理7.3）。
• 所导出的公式在 $ \dim M = 1 $ 时恢复Yang的显式公式，确认与先前结果的一致性。
• 在 $ s = 0 $ 时，轨道方程的结构反映了正交Shimura簇上特殊循环分解为子Shimura簇，从而支持Kudla的猜想。