[论文解读] On reducibility of Quantum Harmonic Oscillator on $\mathbb{R}^d$ with quasiperiodic in time potential

Éric Paturel, Benoît Grébert|arXiv (Cornell University)|Mar 24, 2016

Quantum chaos and dynamical systems参考文献 15被引用 28

一句话总结

本文建立了在 $ℝ^d$ 上带有谐振子势和小的、关于时间准周期扰动的线性薛定谔方程的可约性。利用无限维KAM理论，证明了对于大多数频率向量 $ω$，该系统可约化为一个自治哈密顿系统，这意味着所有解均为几乎周期性且在所有Sobolev范数下一致有界。

ABSTRACT

We prove that a linear d-dimensional Schr{ö}dinger equation on $\mathbb{R}^d$ with harmonic potential $|x|^2$ and small t-quasiperiodic potential $i\partial\_t u -- Δu + |x|^2 u + εV (tω, x)u = 0, x \in \mathbb{R}^d$ reduces to an autonomous system for most values of the frequency vector $ω\in \mathbb{R}^n$. As a consequence any solution of such a linear PDE is almost periodic in time and remains bounded in all Sobolev norms.

研究动机与目标

• 建立在 $\\mathbb{R}^d$ 上带有谐振子和小的、关于时间准周期势的线性薛定谔方程的可约性。
• 将有限维KAM可约性结果推广至由量子谐振子控制的无限维系统。
• 证明对于频率向量 $ω$ 的全测度集合，系统可约化为自治系统，从而确保解的长时间稳定性。
• 证明所有解在所有Sobolev范数下保持有界，并且在时间上为几乎周期性。

提出的方法

• 将问题表述为 $L^2(\\mathbb{R}^d)$ 中的线性非自治系统，其中具有关于时间准周期的势 $V(\\omega t, x)$，在时间上为解析函数，且在空间上属于 $\\mathcal{H}^s$，$s > d/2$。
• 在Hermite基 $\\{\\Phi_{j,l}\\}$ 中表示解，其中算子 $T = -\\Delta + |x|^2$ 在特征空间 $[a]$ 上的特征值为 $w_a = j$，其维数满足 $d_j \leq j^{d-1}$。
• 应用无限维KAM理论，构造一个准周期变换，将时变系统共轭为自治系统，依赖于 $\omega$ 的非共振条件。
• 通过分块对角化求解同态方程，并利用谱间隙估计和 $w_a$ 的衰减性，估计线性化算子的逆。
• 采用参数依赖的正规型的迭代KAM步骤，通过Hermite系数上的加权 $\\ell^2_s$ 范数控制变换的增长。
• 实施测度论论证，表明可约性成立的 $\omega$ 向量集合在 $\\mathbb{R}^n$ 中具有渐近全测度。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于大多数频率向量，能否将 $ℝ^d$ 上带有谐振子和小的准周期势的线性薛定谔方程约化为自治系统？
• RQ2 频率向量 $ω$ 和势 $V$ 的哪些条件能确保该系统在无限维情形下的可约性？
• RQ3 可约性是否意味着此类系统中解在所有Sobolev范数下保持一致有界？
• RQ4 KAM方法如何从有限维系统推广到量子谐振子的无限维情形？

主要发现

• 对于频率向量 $ω$ 的全测度集合，带有准周期势的薛定谔方程可通过一个准周期变换约化为自治系统。
• 该系统的所有解在时间上为几乎周期性，并且在所有Sobolev范数 $H^s$ 下对所有 $s \geq 0$ 保持有界。
• 当 $V \in \mathcal{H}^s$ 且 $s > d/2$，且在时间变量 $\varphi \in \mathbb{T}^n$ 上为实解析函数时，可约性成立。
• 同态方程中线性化算子的逆有界于 $C / (1 + |w_a - w_b|)$，确保了KAM迭代的收敛性。
• 可约性成立的非共振 $ω$ 向量集合的大小在 $ℝ^n$ 中具有渐近全测度。
• 该方法给出了变换和余项范数的显式界，其衰减由 $w_a^{-\delta}$ 控制，$δ > 0$。