[论文解读] On Reducible but Indecomposable Representations of the Virasoro Algebra

Falk Rohsiepe|ArXiv.org|Nov 20, 1996

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 35被引用 66

一句话总结

本文研究了维拉索罗代数的可约但不可约表示，重点关注 $L_0$ 在最低权空间上作用为非平凡若尔当代数块的若尔当最低权模。它引入了'错列模'作为推广，根据嵌入条件分类其模空间为一维或空集，并确定了若尔当代马模的最大保持子模。主要贡献在于对中心荷 $c = -2$ 处最小若尔当表示的子模和特征标进行了完整分类，其应用涉及有理对数 $ω(2,3^3)$ 代数。

ABSTRACT

Motivated by the necessity to include so-called logarithmic operators in conformal field theories (Gurarie, 1993) at values of the central charge belonging to the logarithmic series c_{1,p}=1-6(p-1)^2/p, reducible but indecomposable representations of the Virasoro algebra are investigated, where L_0 possesses a nontrivial Jordan decomposition. After studying `Jordan lowest weight modules', where L_0 acts as a Jordan block on the lowest weight space (we focus on the rank two case), we turn to the more general case of extensions of a lowest weight module by another one, where again L_0 cannot be diagonalized. The moduli space of such `staggered' modules is determined. Using the structure of the moduli space, very restrictive conditions on submodules of `Jordan Verma modules' (the generalization of the usual Verma modules) are derived. Furthermore, for any given lowest weight of a Jordan Verma module its `maximal preserving submodule' (the maximal submodule, such that the quotient module still is a Jordan lowest weight module) is determined. Finally, the representations of the W-algebra W(2,3^3) at central charge c=-2 are investigated yielding a rational logarithmic model.

研究动机与目标

• 理解可约但不可约的维拉索罗代数表示的结构，特别是当 $L_0$ 不可对角化时。
• 将韦尔马模推广为'若尔当代马模'，其中 $L_0$ 在最低权空间上作用为若尔当代数块。
• 分类'错列模'的模空间——即 $L_0$ 非对角化的最低权模的扩张。
• 确定若尔当代马模的最大保持子模，以确保商模仍为若尔当最低权模。
• 将该框架应用于 $c = -2$ 处的 $ω(2,3^3)$ 代数，表明其构成一个广义有理对数共形场论。

提出的方法

• 将'若尔当最低权模'定义为由两个向量生成的模，其中 $L_0$ 在其上作用为秩二若尔当代数块。
• 引入'错列模'作为最低权模的扩张，其中 $L_0$ 非对角化，推广了韦尔马模的结构。
• 构造错列模的模空间 $\mathcal{V}_{h,h'}$，并证明当存在嵌入 $V(h',c) \to V(h,c)$ 时其为一维向量空间，否则为空集。
• 利用模空间的结构，对若尔当代马模的子模施加强约束。
• 将形式化方法应用于 $c = -2$ 处的 $ω(2,3^3)$ 代数，表明所有表示均可通过有限个基本表示经子模、商模和直和构造而成。
• 利用最大保持子模构造方法计算最小若尔当最低权表示的特征标。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 $L_0$ 作用为非平凡若尔当代数块的若尔当代马模中，其子模的结构如何？
• RQ2 错列模存在的条件是什么？其模空间的维数是多少？
• RQ3 如何分类若尔当代马模的最大保持子模，以确保商模仍为若尔当最低权模？
• RQ4 能否证明 $c = -2$ 处 $ω(2,3^3)$ 代数的表示理论在广义意义上是有理的？
• RQ5 非对角化的 $L_0$ 在对数共形场论中起何作用，特别是在融合规则和模不变性背景下？

主要发现

• 错列模的模空间 $\mathcal{V}_{h,h'}$ 在存在嵌入 $V(h',c) \to V(h,c)$ 时为一维向量空间，否则为空集。
• 若尔当代马模的最大保持子模被定义为最大的子模，使得商模仍为若尔当最低权模。
• 对于任意给定的若尔当代马模最低权，其最大保持子模被显式确定，从而可计算最小若尔当表示的特征标。
• 在 $c = -2$ 时，$ω(2,3^3)$ 代数允许一个有理对数共形场论，其中所有其他表示均可通过有限个基本表示经子模、商模和直和构造而成。
• 最小若尔当最低权表示的特征标通过最大保持子模构造得出，为该类模提供了完整的特征标公式。
• 在更高秩时，最大保持子模的结构变得更加复杂：例如，在 $c = -2$，$h = \frac{3}{8}$ 时，秩三若尔当代马模的最大保持子模是一个具有三个不同最低权的错列模，而非标准的若尔当或错列类型。