[论文解读] On Reeb graphs induced from smooth functions on $3$-dimensional closed manifolds with finitely many singular values II

Naoki Kitazawa|arXiv (Cornell University)|Aug 3, 2021

Topological and Geometric Data Analysis参考文献 11被引用 2

一句话总结

本文通过在三维闭流形（包括非可定向的情形）上构造光滑函数，将先前关于Reeb图的研究成果加以拓展——使得Reeb图能够实现任意指定的有限图，且其预像类型也符合特定要求。该方法将Morse-Bott技巧推广至非可定向情形，证明了在适当的三维流形上，任意有限图均可作为光滑函数的Reeb图实现，即使该流形是非可定向的。

ABSTRACT

The Reeb space of a smooth function is a topological and combinatoric object and fundamental and important in understanding topological and geometric properties of the manifold of the domain. It is the graph and a topological space endowed with a natural topology. This is defined as the quotient space of the domain where the equivalence relation is as follows: two points in the domain is equivalent if and only if they are in a same connected component of a level set or a preimage. In considerable cases they are graphs (Reeb graphs): if the function is a so-called Morse(-Bott) functions and so on, then this is the graph such that a point is a vertex if and only if the corresponding connected component of the level set contains some singular points. The author previously constructed smooth functions on suitable $3$-dimensional connected, closed and orientable manifolds whose Reeb graphs are isomorphic to prescribed graphs and whose preimages are as prescribed types. This gives a new answer to so-called realization problems of graphs as Reeb graphs of smooth functions of suitable classes. The present paper concerns an extension in the case where the $3$-dimensional manifolds may not be non-orientable.

研究动机与目标

• 将有限图作为Reeb图的实现方法推广至三维闭合、非可定向流形。
• 解决在非可定向三维流形上构造光滑函数的挑战，使其Reeb图与指定的有限图相匹配。
• 将先前针对可定向流形的结果拓展至非可定向情形，从而扩大实现问题的适用范围。
• 确保函数的预像具有指定的拓扑类型，从而对水平集结构实现精确控制。

提出的方法

• 利用Reeb空间构造法，即在水平集的同一连通分支之间定义等价关系后，将定义域取商空间。
• 应用Morse-Bott理论中的技术，处理在三维流形上具有有限多个奇异值的函数。
• 在三维闭流形（包括非可定向流形）上构造光滑函数，使得所得的Reeb图同构于给定的有限图。
• 确保函数的预像对应于指定的拓扑类型，从而控制水平集的结构。
• 采用拓扑与组合论证，验证Reeb空间为有限图，其顶点对应于包含奇异点的连通分支。
• 依赖Reeb空间上的自然商拓扑，确保图结构定义良好，并与流形的拓扑相容。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在三维闭合非可定向流形上，通过光滑函数实现任意有限图作为Reeb图？
• RQ2 如何控制此类函数的预像，使其与指定的拓扑类型相匹配？
• RQ3 在将Reeb图实现从可定向流形推广至非可定向三维流形时，会产生哪些拓扑障碍？
• RQ4 非可定向性的存在如何影响Reeb空间的结构以及函数的奇点？
• RQ5 Morse-Bott型技术在多大程度上可被适配于非可定向流形，以实现Reeb图？

主要发现

• 本文构造了在三维闭合非可定向流形上的光滑函数，其Reeb图同构于任意给定的有限图。
• 该构造确保了函数的预像具有指定的拓扑类型，从而对水平集结构实现精确控制。
• 证明了Reeb空间为有限图，其顶点对应于包含奇异点的水平集连通分支。
• 该方法成功将先前在可定向流形上的结果推广至非可定向流形，解决了更广泛类别的实现问题。
• Reeb空间上的自然商拓扑确保了图结构定义良好，并与流形的拓扑相容。
• 结果表明，流形的拓扑复杂性并不会阻碍任意有限图作为Reeb图的实现。